Geometria proiettiva

Invarianti nella geometria proiettiva

In generale, se ad un punto P dello spazio si fa corrispondere un punto P' su un dato piano α si dice che P' è proiezione di P su α. In geometria proiettiva proiettare da un punto O, detto centro di proiezione un punto P dello spazio su un piano α avviene mediante due operazioni:

• proiezione: si ottiene tracciando la retta OP, cioè la retta che unisce il centro di proiezione O con il punto P;

• sezione: si ottiene intersecando la retta OP, con un piano generico α.

Il punto P' che si ottiene dall'intersezione tra la retta OP e il piano α rappresenta la proiezione di P su α.

Il punto P' prende il nome di immagine o sezione di P sul piano α. I punti P e P' si dicono anche corrispondenti o omologhi. Proiettare una figura piana ad esempio un rettangolo ABCD giacente nel piano α da un punto O (centro di proiezione) esterno al piano α significa condurre dal punto O il fascio di rette che unisce il centro del fascio con ogni punto del rettangolo ABCD e intersecare il fascio di rette con il piano β. Il quadrilatero A'B'C'D' che si ottiene mediante le due operazioni (proiezione e sezione) rappresenta la proiezione del rettangolo sul piano β. I due piani α e β possono avere in comune una retta propria o impropria oppure essere coincidenti.

Se il centro di proiezione O è un punto proprio si dice che la proiezione è centrale se invece è un punto improprio si dice che la proiezione è parallela; in questo caso il fascio è costituito da rette avente tutte la stessa direzione stabilita dal punto improprio. Ecco ad esempio una proiezione parallela.

Nella geometria proiettiva ogni trasformazione di una figura in un'altra mediante una proiezione centrale o parallela o con una successione finita di proiezioni o con sezioni viene detta trasformazione proiettiva o proiettività. Ad esempio, la trasformazione del quadrilatero ABCD nel quadrilatero A'B'C'D' mediante una proiezione centrale con centro in O è una trasformazione proiettiva.

Nelle trasformazioni proiettive alcune proprietà delle figure piane vengono perse come le lunghezze dei lati o le ampiezze degli angoli, altre proprietà invece si conservano e vengono chiamate proprietà invarianti rispetto alle proiezioni o proprietà che hanno carattere proiettivo. La geometria proiettiva si propone di studiare le proprietà geometriche delle figure che non si alterano per proiezioni e sezioni. Vediamo alcune proprietà proiettive delle figure. Una trasformazione proiettiva manda:

• Un punto P in un altro punto P' immagine di P;
• Una retta r in un'altra retta r' immagine di r;
• Due rette r e s incidenti nel punto P in altre due rette r' e s' incidenti nel punto P'

Pertanto il punto, la retta e l'incidenza di un punto e di una retta hanno carattere proiettivo e quindi sono invarianti rispetto a una trasformazione proiettiva.

Partendo da queste tre semplici proprietà invarianti si possono dedurre altre proprietà invarianti:

• Se tre o più punti sono allineati e quindi appartenenti a una retta r anche le loro immagini proiettive saranno allineati.

• Se in un piano tre o più rette sono incidenti nello stesso punto P anche le loro immagini proiettive saranno rette incidenti nello stesso punto P'.

Possiamo, quindi dire che le proprietà di incidenza, allineamento, appartenenza e continuità sono proprietà proiettive. Controesempio, se proiettiamo un triangolo equilatero si ottiene un altro triangolo che non conserva nè la lunghezza dei lati nè l'ampiezza degli angoli (le lunghezze e gli angoli non sono proprietà proiettive) e quindi nella geometria proiettiva non ha senso parlare di triangoli equilateri o di triangoli isosceli o di triangoli scaleni.

Nella geometria proiettiva:

• la retta può essere considerata come un insieme di infiniti punti allineati e in tal caso viene detta retta punteggiata;

• il piano può essere considerato sia come l'insieme degli infiniti punti di un piano e in tal caso è detto piano punteggiato o anche come l'insieme di infinite rette appartenenti ad uno stesso piano e in tal caso è detto piano rigato;

• lo spazio può essere considerato sia come l'insieme degli infiniti punti e in tal caso è detto spazio punteggiato o anche come l'insieme di infinite rette e in tal caso è detto piano rigato o anche come l'insieme degli infiniti piani dello spazio e in tal caso è detto spazio di piani.