Geometria proiettiva

Birapporto

Se consideriamo tre punti allineati A, B, C in un certo ordine su una retta orientata r si definisce rapporto semplice dei tre punti e si indica con (ABC) il rapporto delle due distanze AC e BC:

Tale rapporto è un numero reale con segno e può essere positivo, negativo, nullo o infinito e ciò dipende dall'orientamento della retta e dalla disposizione dei tre punti. In particolare il rapporto è:

• positivo se C è esterno al segmento AB;
• negativo se C è interno al segmento AB;
• nullo se C coincide con A;
• infinito se C coincide con B;
• uguale a -1 se C è il punto medio del segmento AB;
• uguale a 1 se C è il punto improprio.

Se consideriamo quattro punti allineati A, B, C, D in un certo ordine su una retta orientata r si definisce birapporto dei quattro punti e si indica con (ABCD) il rapporto tra i due rapporti semplici (ABC) e (ABD):

Anche il birapporto è un numero reale con segno; il suo valore e il suo segno dipende dai valori e dai segni dei due rapporti semplici.

In una trasformazione proiettiva il rapporto semplice non si conserva mentre, il birapporto si conserva e quindi il birapporto è un invariante proiettivo.

Se su una retta r vengono presi nell'ordine quattro punti A, B, C, D e se li si proietta nei punti A', B', C', D' di un'altra retta s,

si conservano i birapporti tra quattro dei segmenti che li hanno come estremi..

dove AC, AD, BC, BD, AC', AD', BC', BD' rappresentano le lunghezze (con segno) dei segmenti orientati. Ad esempio, se quattro punti allineati hanno birapporto uguale a 5/4, anche tutte le loro immagini proiettive continuano ad avere birapporto uguale a 5/4. Applicando il teorema dei seni (in un triangolo qualsiasi i rapporti tra le misure dei lati e il seno degli angoli opposti sono costanti e coincidono tra loro) ai triangoli AOC, AOD, BOC, BOD si ottiene:

Questa uguaglianza mette in evidenza che il birapporto dei punti A, B, C, D dipende esclusivamente dagli angoli che dal punto O proiettano i segmenti congiungenti i punti A, B, C, D. Ora, questi angoli sono gli stessi anche per i punti A', B', C', D' essendo questi una proiezione di A, B, C, D e quindi il valore del birapporto resta invariato rispetto alla proiezione. Il valore del birapporto dipende dall'ordine con cui sono allineati i quattro punti e dato che 4 punti possono essere ordinati in 24 modi diversi (4! = 4⋅3⋅2⋅1=24) si hanno 24 possibilità che danno luogo a solo 6 birapporti diversi costituiti da tre coppie reciproche. Ad esempio, se (ABCD)=k allora si hanno i seguenti valori:

In particolare quando il birapporto (ABCD)=-1 si dice che i quattro punti formano una quaterna armonica. Si ottiene una quaterna armonica se:

Cioè

E ciò si verifica solo se C e D dividono il segmento AB, internamente ed esternamente, nello stesso rapporto. Ad esempio, in figura:

Si ha:

In questo caso i punti C e D sono detti coniugati armonici rispetto alla coppia A e B. A loro volta, A e B sono coniugati armonici rispetto a C e D. Ciascuna coppia divide armonicamente il segmento che ha come estremi l'altra coppia.