Geometria proiettiva

Le proiezioni del cerchio

Lo studio delle curve piane ellissi, parabole e iperbole risale all'antichità, il matematico greco Menecmo vissuto nel IV secolo a.C. utilizzà l'intersezione tra una parabola e un'iperbole per risolvere il problema della duplicazione del cubo (dato un cubo di spigolo assegnato, costruire un cubo avente volume doppio). Anche Euclide e Archimede si interessarono a queste curve ma fu Apollonio di Perga vissuto nel III secolo a.C. a studiarle in modo sistematico. Apollonio scrisse un trattato su queste curve intitolato Le coniche perchè è possibile ottenere tutte queste curve tagliando una superficie conica a due falde con un piano.

Le coniche possono essere definite come luoghi geometrici cioè come curve costituite da un insieme di punti che godono di una determinata proprietà:

• Una circonferenza è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto O detto centro.

• Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano le cui distanze da due punti fissi F₁ e F₂ detti fuochi hanno somma costante.

• Un'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano per cui cui la differenza delle distanze da due punti fissati F₁ e F₂ detti fuochi è una costante d non negativa.

• Una parabola è il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta data d detta direttrice.

Dopo Apollonio lo studio delle coniche subí un arresto che durò molti secoli. Con la nascita della geometria analitica avvenuta nel XVII secolo ad opera di Pierre de Fermat (1601-1665) e di Renè Descartes (1596-1650) fu ripreso lo studio sulle coniche. Utilizzando le definizioni dei luoghi geometrici si scoprí che queste curve possono essere espresse mediante equazioni di secondo grado nelle coordinate x e y. Si scoprí anche che è possibile unificare queste curve mediante un'unica equazione di secondo grado in x e y:

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0

dove a, b, c, d, e, f detti coefficienti sono numeri reali. Una completa e definita sistemazione della teoria delle coniche si ebbe con la geometia proiettiva. Le definizioni delle coniche come luoghi geometrici si servono del concetto di distanza; nella geometria proiettiva le coniche vengono definite mediante le operazioni di proiezioni e sezioni di un cerchio su un piano.

In altre parole, se da un punto O si proietta un cerchio, le rette proiettanti formano una doppia superficie conica e intersecando tale superficie con un piano si ottiene un'ellisse o un'iperbola o una parabola. Con un semplice esperimento, possiamo vedere le varie sezioni coniche mediante proiezioni e sezioni: basta puntare una torcia elettrica, in un ambiente buio, contro un muro. Il fascio di luce che esce dalla torcia ha una forma conica e a seconda dell'inclinazione della torcia l'intersezione tra il fascio di luce e il piano del muro si forma una circonferenza, un'ellisse, una parabola o un ramo di iperbole. In particolare si forma un cerchio se la torcia è posta perpendicolarmente al muro, inclinando leggermente la torcia si forma l'ellisse, quando il raggio luminoso più esterno è parallelo al muro si forma la parabola e inclinando ancora la torcia in modo che il raggio più esterno del fascio di luce diverge dalla parete si forma un ramo di iperbole.