Geometria proiettiva

Coordinate omogenee

Il matematico e astronomo tedesco August Ferdinand Möbius (1790-1868) è conoscito dal grande pubblico per il nastro di Möbius una superficie non orientabile, con una sola faccia e un solo bordo.

Nella sua opera del 1827 Der barycentrische Calcul, introdusse le coordinate omogenee che utilizzò per applicare i metodi della geometria analitica alla geometria proiettiva per questo motivo le coordinate omogenee sono anche dette coordinate proiettive. Nel piano cartesiano un punto finito P è individuato mediante due coordinate (x, y), nel piano proiettivo il corrispondente punto P' è individuato con tre coordinate (x₀, x₁, x₂) con x₀≠0 e il passaggio da coordinate omogenee a coordinate cartesiane è dato dalle equazioni:

Ne segue:

Ad esempio, ponendo x₀=1 il punto P(2, -1) in coordinate cartesiane, diventa il punto P'(1, 2, -1) in coordinate omogenee. Si intuisce che le coordinate omogenee dipendono dal valore di x₀ e quindi sono definite a meno di un fattore di proporzionalità. Per esempio le terne (1, 2, -1), (2, 4, -2) e più generalmente (k, kx, ky) con k≠0 rappresentano tutte lo stesso punto quello avente le coordinate cartesiane P(2, -1). Analogamente i punti (1,3,-4), (2, 6, -8), (3, 9, -12) in coordinate omogenee corrispondono tutti al punto (3,-4) in coordinate cartesiane. Le coordinate omogenee hanno quindi lo svantaggio della non biunivocità della rappresentazione dei punti ma in compenso hanno il grande vantaggio di poter definire i punti all'infinito (punti impropri) ponendo x₀=0 ossia i punti con coordinate proiettive (0, x₁, x₂), le cui coordinate cartesiane x, y non sono definite. Un punto improprio P_∞ rappresenta la direzione di una retta è quindi individuato quando è fissata una retta. In generale dato un punto improprio (x₀, x₁, x₂), esso è definito dalla direzione della retta cartesiana, e se consideriamo una generica retta cartesiana:

ax + by + c = 0

deve risultare:

x₀ = 0, x₁ = b, x₂ = -a

Il punto improprio ha quindi coordinate omogenee (0, b, -a). Ad esempio, se consideriamo la retta cartesiana

2x - 3y + 1 = 0

le coordinate proiettive del suo punto improprio nel piano proiettivo sono:

(0, -3, -2)

Data l'equazione di una retta cartesiana

ax + by + c = 0

per ottenere l’equazione della retta propria in coordinate omogenee, basta utilizzare le equazione del passaggio di coordinate.

In questo caso è possibile dividere per x₀ perchè x₀≠0. Per cui la retta cartesiana di equazione:

2x + 3y + 4 = 0

in cordinate omogenee diventa

2x₁ + 3x₂ + 4x₀ = 0

Nel piano cartesiano due rette

ax + by + c = 0; a'x + b'y + c' = 0

sono parallele se e solo se

a = a' e b = b'

Ora, queste due rette parallele hanno anche la stessa direzione che è il punto improprio (0, b, -a) nel piano proiettivo. Ad esempio, le due rette cartesiane

2x + y + 3 = 0; 4x + 2y + 5 = 0

sono parallele e nel piano proiettivo hanno in comune il punto improprio P_∞(0, 1, -2).

Spesso l'equazione della retta nel piano proiettivo

ax₁ + bx₂ + cx₀ = 0

viene indicata con l'equazione equivalente:

a₀x₀ + a₁x₁ + a₂x₂ = 0

dove a₀ = c, a₁ = a, a₂ = b. Ora, se abbiamo una retta proiettiva di equazione:

3x₀ + 2x₁ + x₂ = 0

e vogliamo conoscere la corrisponte equazione della retta cartesiana possiamo porre per semplicità x₀ = 1 e applicare le seguenti sostituzioni:

x₀ = 1; x₁ = x⋅x₀; x₂ = y⋅x₀

Per cui si ottiene:

2x + y + 3 = 0

Se si pone x₀ = 2 si ottiene

4x + 2y + 6 = 0

Come si può osservare le due equazioni 2x + y + 3 = 0, 4x + 2y + 6 = 0 al variare di x₀ rappresentano la stessa retta.