Geometria proiettiva

Dalla prospettiva alla geometria proiettiva

Il problema della profondità e le regole geometriche per la rappresentazione del mondo tridimensionale nel piano bidimensionale degli artisti rinascimentali, trovarono una rigorosa risposta matematica soltanto dal XVII secolo in poi attraverso la geometria proiettiva detta anche geometria di posizione o geometria dell'occhio perchè permette di rappresentare in un piano ciò che vede l'occhio. Fu il matematico francese Girard Desargues (1591-1661) con il suo lavoro del 1639 Schizzo schematico di ciò che succede quando si seziona un cono con un piano a introdurre le basi per lo sviluppo della geometria proiettiva. Partendo da queste basi, poi, nel secolo successivo la geometria proiettiva fu sviluppata prima con Gaspard Monge (1746-1818) e poi da Jean-Victor Poncelet (1788-1867). Intuitivamente la geometria proiettiva può essere considerata un'estensione della geometria euclidea. In questa nuova geometria si studiano gli usuali enti geometrici fondamentali euclidei come punti, rette e piani e le relazioni intercorrenti tra loro ma senza utilizzare misure o confronti di lunghezze o di ampiezza o di estensione. I concetti primitivi di punto, retta e piano euclideo possono essere naturalmente estesi al punto, alla retta e al piano proiettivo. Però contrariamente alla geometria euclidea nella geometria proiettiva non esistono rette parallele ossia anche le rette parallele hanno un punto in comune. L'idea, che anche le rette parallele hanno un punto in comune, può sembrare ben lontana dalla realtà, tuttavia se guardiamo un lunghissimo tratto di binari, che pur essendo formato da rotaie parallele, abbiamo la senzazione che all'orizzonte abbiano un punto d'incontro.

Nella geometria proiettiva:

due rette nel piano si intersecano sempre, o in un punto proprio, oppure in un punto all'infinito, chiamato punto improprio.

In altre parole, nella geometria proiettiva due rette qualsiasi del piano sono sempre incidenti in un punto e la nozione di rette parallele della geometria euclidea potrebbe essere sostituita con:

due rette del piano si dicono parallele se sono incidenti in un punto all'infinito.

Pertanto la retta proiettiva è la retta euclidea r ampliata con l'aggiunta di un ulteriore punto all'infinito detto improprio e indicato col simbolo P_∞. Questo punto improprio è comune a tutte le rette parallele a r ossia a tutte le rette che hanno la stessa direzione di r e a nessuna altra retta. Ogni punto improprio indica, quindi, la direzione della retta r alla quale appartiene e anche di tutte le altre rette parallele a r. Poichè le direzioni possibili delle rette parallele giacenti su un piano sono infinite, si hanno infiniti punti impropri e l'insieme di tutti i punti impropri del piano proiettivo formano anch'essi un'unica retta, detta retta all'infinito o impropria, o anche orizzonte e indicata col simbolo r_∞.

Nella figura precedente le rette a e b sono incidenti nel punto improprio P_∞ e quindi hanno la stessa direzione, anche le rette c e d sono incidenti nel punto improprio Q_∞ e quindi hanno la stessa direzione che è diversa da quella delle rette a e b. Le coppie di rette a e d, a e c, b e c, b e d sono incidenti rispettivamente nei punti propri A, D, C, B e quindi non hanno la stessa direzione. Per i punti impropri P_∞ e Q_∞ passa una sola retta, che è la retta impropria r_∞.

Analogamente il piano proiettivo è il piano euclideo esteso cioè il normale piano euclideo con l'aggiunta della retta impropria costituita dall'insieme dei punti impropri. Inoltre, tutte le rette improprie dello spazio costituiscono il piano improprio e lo spazio proiettivo è lo spazio euclideo completato con il piano improprio.

Con l'inserimento dei punti impropri e delle rette improrie si possono dedurre intuitivamente le seguenti differenze fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva:

• La retta euclidea è illimitata: su una retta non esistono nè un primo punto, nè un ultimo.

  

  La retta proiettiva ha un unico punto improprio che si raggiunge andando all'infinito e ciò accade sia che si percorre la retta verso destra che verso sinistra. Questo induce a supporre che la retta proiettiva abbia la forma di una circonferenza di raggio infinito. Ad esempio, nella seguente figura sono indicate le rette proiettive a, b, c aventi la stessa direzione rappresentata dal loro comune punto comune P_∞ il quale appartiene alla retta impropria r_∞.

  

• Se si divide con un taglio una retta euclidea si ottiengono due semirette di lunghezze infinite. Se si divide con un taglio una retta proiettiva si ottiene un solo segmento di lunghezza infinita contenente il punto improprio.

• Se si divide con due tagli una retta euclidea si ottengono un segmento finito e due semirette di lunghezze infinite. Se si divide con due tagli una retta proiettiva si ottengono due segmenti uno di lunghezza finita e l'altro di lunghezza infinita.

• Ogni retta euclidea può essere orientata scegliendo un verso di percorrenza secondo due versi l'uno opposto all'altro e stabilire che un verso sia positivo e l'altro negativo. Ad esempio, nella seguente figura su una retta orientata sono stati scelti nell'ordine tre punti A, B, C:

  

  Ora immaginiamo di percorrerla a partire da B prima nel verso positivo e poi nel verso negativo: nel primo caso incontriamo il punto C ma non incontriamo il punto A mentre nel secondo caso incontriamo il punto A ma non incontriamo il punto C.
  
  Anche la retta proiettiva può essere orientata come la retta euclidea. Se consideriamo che la figura precedente sia una retta proiettiva e immaginiamo di percorrerla a partire da B prima nel verso positivo e poi nel verso negativo: nel primo caso incontriamo nell'ordine il punto C, il punto all'infinito e poi il punto A mentre nel secondo caso incontriamo nell'ordine il punto A, il punto all'infinito e poi il punto C. Con l'introduzione del punto improprio il percorso su una retta proiettiva diventa circolare.

Per definizione la retta impropria non contiene punti propri infine i punti impropri e la retta impropria hanno rispettivamente le stesse proprietà dei punti propri e delle rette proprie. Con l'introduzione del punto improprio e della retta impropria le relazioni fra punti e rette risultano più simmetriche rispetto a quelle della geometria euclidea. Nella geometria euclidea due punti individuano una e una sola retta ma due rette individuano uno e un solo punto solo se le rette non sono parallele mentre nella geometria proiettiva si ha:

• Due punti individuano una e una sola retta.

• Due rette individuano uno e un solo punto.

Infatti, vale il principio di dualità si passa dalla prima alla seconda affermazione e viceversa sostituendo alla parola "punti" la parola "rette" e alla parola "retta" la parola "punto".

Con l'esclusione del concetto di rette parallele e della misura si possono dedurre le seguenti differenze fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva:

• Nella geometria euclidea si distinguono due tipi di fasci di rette:

  • proprio è l’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P detto centro del fascio;

  • improprio è l’insieme di tutte le rette del piano che sono parallele tra loro.

  Nel piano proiettivo non esistendo il concetto rette parallele non esiste nemmeno la distinzione tra fasci di rette propri e impropri e quindi si ha un solo tipo di fascio. Se il centro P del fascio è proprio ad ogni retta è aggiunto un punto all'infinito, se invece il centro P del fascio è improprio il fascio è constituito dalla retta all’infinito e da tutte le rette aventi una data direzione.

• Nella geometria euclidea due figure si dicono congruenti se hanno la stessa forma e le stesse dimensioni.

• Nella geometria proiettiva, venendo meno il concetto di misura non viene considerato nemmeno il concetto euclideo di congruenza.

Le proprietà fondamentali dei punti, delle rette e dei piani vengono fissate con dei postulati.

Postulati della geometria proiettiva

Enunciato	Enunciato duale
a) Due punti distinti individuano una retta che appartiene a entrambi.	a') Due piani distinti individuano una retta che appartiene a entrambi.
b) Tre punti non appartenenti ad una stessa retta individuano un piano che appartiene a tutti e tre i punti dati.	b') Tre piani non appartenenti ad una stessa retta individuano un punto che appartiene a tutti e tre i piani dati.
c) Un punto e una retta che non si appartengono individuano un piano che appartiene a entrambi.	c') Un piano e una retta che non si appartengono individuano un punto che appartiene a entrambi.
d) Se due punti appartengono a un piano, la retta individuata dai due punti appartiene al piano.	d') Se due piani appartengono a un punto, la retta individuata dai due piani appartiene al piano.
e) Due rette appartenenti a uno stesso punto appartengono anche ad uno stesso piano.	e') Due rette appartenenti a uno stesso piano appartengono anche ad uno stesso punto.

Come si può osservare, in questi postulati, il punto e il piano sono elementi duali, mentre la retta è duale di se stessa.

In uno spazio proiettivo di dimensione 3 si ha:

• Una retta e un piano qualsiasi hanno sempre un punto comune.

• Due piani distinti qualsiasi hanno sempre una retta comune.

Pertanto, anche nello spazio proiettivo non ha senso parlare di parallelismo tra piani o tra rette e piani. Ne segue che due piani qualsiasi hanno sempre in comune o una retta propria o una retta impropria. Inoltre, l'insieme di tutti i punti impropri e di tutte le rette improprie dello spazio individuano un piano improprio o infinito.