Geometria proiettiva

Introduzione

Rappresentare oggetti reali, che occupano tre dimensioni, lunghezza, altezza e profondità, su una superficie piatta come una tela è stato, fin dall'antichità, uno dei problemi centrali della pittura. La difficoltà consisteva nel rendere credibile ciò che l'occhio percepisce naturalmente: lo spessore degli oggetti, la profondità di una stanza, la distanza tra le figure e le loro proporzioni nello spazio.

I primi tentativi di affrontare questo problema risalgono alla Grecia ellenistica. Euclide, nel suo trattato Ottica, gettò le basi geometriche della visione, cercando di descrivere come l'occhio umano percepisce forme e distanze. Tuttavia, fu solo nel Rinascimento che questo tema venne ripreso con una consapevolezza completamente nuova, dando origine a una vera rivoluzione nel modo di rappresentare il mondo.

In quell'epoca le figure del pittore, dell'architetto e del matematico spesso coincidevano. Non era raro incontrare artisti che erano anche studiosi di geometria, o matematici che si dedicavano alla pittura. Tra questi spiccano nomi come Filippo Brunelleschi (1377-1446), Leon Battista Alberti (1404-1472), Piero della Francesca (1416-1492), Luca Pacioli (1445-1517) e Leonardo da Vinci (1452-1519). Furono loro a elaborare le regole che permettono di tradurre una scena tridimensionale in un'immagine bidimensionale mantenendo un forte senso di realismo.

L'idea chiave fu quella di immaginare la tela come una finestra interposta tra l'occhio dell'artista e l’oggetto da rappresentare. Attraverso questa "finestra-quadro", il pittore osserva la scena e ne individua gli elementi essenziali, quelli che definiscono in modo inequivocabile la forma e la posizione degli oggetti. Non a caso il termine prospettiva deriva dal latino perspicere, che significa "guardare attraverso".

Da questa intuizione nacque il concetto di piramide visiva (o cono visivo): un modello geometrico in cui il vertice è l'occhio dell'osservatore, immobile e unico, i lati sono i raggi visivi che si dirigono verso l'oggetto, e la base è il contorno dell'oggetto stesso. La tela rappresenta la sezione di questa piramide, cioè il punto in cui l'immagine viene "proiettata" in forma ridotta.

Grazie a questo metodo, la pittura acquisí un nuovo modo di rappresentare la realtà: la prospettiva. Per la prima volta diventava possibile disegnare oggetti tridimensionali in modo coerente con ciò che l'occhio percepisce, restituendo profondità, proporzioni e distanza con una precisione mai raggiunta prima.

In questo modo l'immagine realizzata dal pittore rappresenta una proiezione dell'originale sulla tela, con il centro di proiezione nell'occhio del pittore. Ad esempio, Leonardo da Vinci descrive come ottenere la rappresentazione grafica di un oggetto reale.

"Poni un vetro tra l'occhio e l'oggetto che vuoi ritrarre. Poi ti poni alla distanza di 2/3 di braccio dal vetro tenendo ferma la testa e coprendo un occhio. Infine, segna sul vetro col pennello o con matita ciò che ti appare".

Fu Filippo Brunelleschi, fiorentino, il primo a formulare in modo empirico le regole della prospettiva. Per dimostrarne l'efficacia realizzò due celebri tavole: una con la veduta prospettica del Battistero di San Giovanni osservato dalla porta di Santa Maria del Fiore, l'altra con la rappresentazione della piazza della Signoria e di Palazzo Vecchio. Questi esperimenti segnarono una svolta, perchè per la prima volta la profondità dello spazio veniva resa con coerenza geometrica.

Le intuizioni di Brunelleschi furono poi raccolte e perfezionate da Leon Battista Alberti, che nel trattato De pictura sistematizzò le regole della rappresentazione prospettica, e successivamente da Piero della Francesca. Quest'ultimo, pittore e matematico, nel suo De perspectiva pingendi espose in modo rigoroso i fondamenti geometrici della prospettiva, trasformandola da tecnica artistica a vero e proprio metodo scientifico.

Per comprendere il modello geometrico alla base della prospettiva, immaginiamo un piano orizzontale α, chiamato piano di terra, e un piano verticale Π, detto piano del quadro, perpendicolare al primo. La loro intersezione forma la linea di terra. L'occhio dell’osservatore si trova in un punto O, posto a una certa altezza rispetto al piano di terra: questo è il punto di vista. Consideriamo ora due rette parallele, a e b, che giacciono sul piano α. Ogni punto di queste rette può essere collegato al punto O tramite un raggio visivo: proiettando tali raggi sul piano del quadro, otteniamo le immagini delle due rette, indicate con a′ e b′. Questo semplice schema mostra come la prospettiva trasformi lo spazio tridimensionale in una rappresentazione bidimensionale coerente con ciò che percepisce l'occhio umano. La costruzione prospettica nasce proprio da questa idea: tradurre la visione in geometria.

Le due rette a' e b' che rappresentano, nel piano del quadro, le rette parallele a e b si intersecano nel punto F detto punto di fuga. Inoltre la retta OF risulta parallela al piano di terra e quindi il punto di fuga si trova alla stessa altezza del punto di vista. Vediamo allora come un pittore rinascimentale, utilizzando le regole della prospettiva, riesce a rappresentare in un quadro in modo realistico l'interno di una stanza con un pavimento piastrellato con mattonelle quadrate.

• Primo passo:

  Traccia una linea orizzontale detta linea di terra sulla quale immagina di poggiare i piedi. Poi traccia un'altra linea orizzontale detta linea dell'orizzonte che immagina sia all'altezza dei suoi occhi. Infine, considera un punto P sulla linea dell'orizzonte che immagina sia il punto di vista da cui si guarda la stanza. Poi intorno al punto di vista traccia la parete di fondo rappresentata con un rettangolo.

  
• Secondo passo:

  Traccia le rette che congingono i vertici opposti del rettangolo. Ora le linee del soffitto e quelle del pavimento devono convergene nel punto P che rappresenta il punto di vista dell'artista detto anche punto di fuga. Infine traccia il rettangolo prospettico che rappresenta la parete opposta a quella di fondo.

  
• Terzo passo:

  Per disegnare il pavimento a scacchi traccia la diagonale del quadrilatero che rappresenta il pavimento fino a intersecare nel punto Q la linea dell'orizzonte. Poi divide la base del pavimento in parti uguali AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e congiunge ogni parte con il punto P. Infine, traccia le linee orizzontali e passanti per i punti di intersezione tra HQ e le linee PB, PC, PD, PE, PF, PG.

  
• Quarto passo:

  Poi elimina tutte le linee superflue.

  

Ad esempio, nel dipinto il miracolo dell'ostia profanata eseguito nel 1468 da Paolo Uccello (1397-1475) possiamo notare l'applicazione della prospettiva centrale e quindi il punto di vista dell'artista e la linea dell'orizzonte.

Se mettiamo a confronto la pavimentazione nel piano euclideo con quella nel piano prospettico.

Che cosa osserviamo? Il procedimento della costruzione prospettica ha alterato sia le lunghezze sia gli angoli delle piastrelle quadrate eppure guardando la tela i nostri occhi non hanno difficoltà a riconoscere una pavimentazione con piastrelle quadrate. Inoltre, nella costruzione prospettica le linee parallele alla linea di terra restano parallele fra loro mentre le line perpendicolari alla linea di terra e parallele fra loro si intersecano tutte nel punto di vista dell'artista eppure guardando la tela i nostri occhi non hanno difficoltà a riconoscere il parallelismo di queste linee. La costruzione prospettica pur modificando le distanze, gli angoli e il parallelismo riesce comunque a dare un'immagine simile a quella reale. E' evidente che nella costruzione prospettica ci sono degli elementi geometrici che restano immutati che contribuiscono a ingannare il nostro apparato visivo.