Geometria proiettiva

Introduzione

Rappresentare oggetti del mondo reale che hanno tre dimensioni (lunghezza, altezza e profondità) su una tela rettangolare che ha due dimensioni (lunghezza e altezza) è sempre stato il problema centrale nella pittura fin dall'antichità. La difficoltà consisteva nel rappresentare su una tela in maniera verosimile gli oggetti tridimensionali ad esempio, lo spessore di un oggetto, la profondità di una stanza, le dimensioni delle figure in relazione alla loro posizione nello spazio. I primi studi su questi problemi risalgono al periodo della grecia ellenistica con Euclide che scrisse l'ottica il primo trattato di ottica geometrica nel quale espone, le basi geometriche della visione. Questo problema venne ripreso e affrontato con maggiore consapevolezza dai pittori rinascimentali che crearono il presupposto per un radicale cambiamento nella concezione della rappresentazione pittorica. In quel periodo le professioni di pittore, architetto e matematico spesso convergevano in un'unica persona e vi furono artisti-matematici e matematici-artisti come ad esempio: Filippo Brunelleschi (1377-1446), Leon Battista Alberti (1404-1472), Piero della Francesca (1416-1492), Luca Pacioli (1445-1517), Leonardo da Vinci (1452-1519). Questi artisti idearono le regole grafiche per rappresentare l'immagine di una figura dello spazio, come la vedevano con i loro occhi, sul piano di una tela di un quadro. Per inserire la profondità nello spazio pittorico la tela viene immaginata come una finestra posta tra l'oggetto da rappresentare e l'occhio dell'artista. Attraverso la finestra-quadro l'artista osserva l'oggetto e cerca di individuare i tratti fondamentali che lo caratterizzano in modo inequivocabile. Questo spiega anche la scelta del termine prospettiva che deriva dalla parola latina perspicere che significa "guardare attraverso". Da ciò nasce l'idea della piramide visiva (o cono visivo) che ha per vertice l'occhio del pittore che è unico e immobile detto punto di vista, per spigoli i raggi visivi, per base il contorno visibile dell'oggetto da raffigurare e per sezione la tela del quadro trasparente che riporta l'immagine prospettica ma più piccola dell'oggetto. Nasce cosí il modo di disegnare in prospettiva che rende possibile la rappresentazione di oggetti tridimensionali simili a ciò che si percepisce realmente.

In questo modo l'immagine realizzata dal pittore rappresenta una proiezione dell'originale sulla tela, con il centro di proiezione nell'occhio del pittore. Ad esempio, Leonardo da Vinci descrive come ottenere la rappresentazione grafica di un oggetto reale.

"Poni un vetro tra l'occhio e l'oggetto che vuoi ritrarre. Poi ti poni alla distanza di 2/3 di braccio dal vetro tenendo ferma la testa e coprendo un occhio. Infine, segna sul vetro col pennello o con matita ciò che ti appare".

Fu il fiorentino F. Brunelleschi il primo a dettare in modo empirico le regole grafiche della prospettiva realizzando due celebri tavole con le vedute prospettiche del Battistero di San Giovanni visto dalla porta di Santa Maria del Fiore e la piazza della Signoria e Palazzo Vecchio di Firenze. Queste regole furono poi perfezionate prima da Leon Battista Alberti e presentate nella sua opera De pictura e successivamente rielaborate dal pittore e matematico Piero della Francesca nel suo trattato De perspectiva pingendi (Sulla prospettiva per dipingere). Con il suo trattato Piero della Francesca espose in modo rigoroso i fondamenti geometrici delle regole grafiche della prospettiva. Consideriamo un piano orizzontale α detto piano di terra e un piano verticale Π detto piano del quadro perpendicolare al piano orizzontale e chiamiamo linea di terra la retta di intersezione tra i due piani. Inoltre, sia O il punto che corrisponde all'altezza dell'occhio dell'osservatore rispetto al piano di terra (punto di vista) e a e b due rette parallele giacenti sul piano α. Ora, alla retta a corrisponde la retta a' sul piano del quadro e alla retta b corrisponde la retta b' sul piano del quadro mediante tutte le possibili rette OP e OQ (raggi visivi).

Le due rette a' e b' che rappresentano, nel piano del quadro, le rette parallele a e b si intersecano nel punto F detto punto di fuga. Inoltre la retta OF risulta parallela al piano di terra e quindi il punto di fuga si trova alla stessa altezza del punto di vista. Vediamo allora come un pittore rinascimentale, utilizzando le regole della prospettiva, riesce a rappresentare in un quadro in modo realistico l'interno di una stanza con un pavimento piastrellato con mattonelle quadrate.

• Primo passo:
  
  Traccia una linea orizzontale detta linea di terra sulla quale immagina di poggiare i piedi. Poi traccia un'altra linea orizzontale detta linea dell'orizzonte che immagina sia all'altezza dei suoi occhi. Infine, considera un punto P sulla linea dell'orizzonte che immagina sia il punto di vista da cui si guarda la stanza. Poi intorno al punto di vista traccia la parete di fondo rappresentata con un rettangolo.

  

• Secondo passo:
  
  Traccia le rette che congingono i vertici opposti del rettangolo. Ora le linee del soffitto e quelle del pavimento devono convergene nel punto P che rappresenta il punto di vista dell'artista detto anche punto di fuga. Infine traccia il rettangolo prospettico che rappresenta la parete opposta a quella di fondo.

  

• Terzo passo:
  
  Per disegnare il pavimento a scacchi traccia la diagonale del quadrilatero che rappresenta il pavimento fino a intersecare nel punto Q la linea dell'orizzonte. Poi divide la base del pavimento in parti uguali AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e congiunge ogni parte con il punto P. Infine, traccia le linee orizzontali e passanti per i punti di intersezione tra HQ e le linee PB, PC, PD, PE, PF, PG.

  

• Quarto passo:
  
  

  Poi elimina tutte le linee superflue.

  

Ad esempio, nel dipinto il miracolo dell'ostia profanata eseguito nel 1468 da Paolo Uccello (1397-1475) possiamo notare l'applicazione della prospettiva centrale e quindi il punto di vista dell'artista e la linea dell'orizzonte.

Se mettiamo a confronto la pavimentazione nel piano euclideo con quella nel piano prospettico.

Che cosa osserviamo? Il procedimento della costruzione prospettica ha alterato sia le lunghezze sia gli angoli delle piastrelle quadrate eppure guardando la tela i nostri occhi non hanno difficoltà a riconoscere una pavimentazione con piastrelle quadrate. Inoltre, nella costruzione prospettica le linee parallele alla linea di terra restano parallele fra loro mentre le line perpendicolari alla linea di terra e parallele fra loro si intersecano tutte nel punto di vista dell'artista eppure guardando la tela i nostri occhi non hanno difficoltà a riconoscere il parallelismo di queste linee. La costruzione prospettica pur modificando le distanze, gli angoli e il parallelismo riesce comunque a dare un'immagine simile a quella reale. E' evidente che nella costruzione prospettica ci sono degli elementi geometrici che restano immutati che contribuiscono a ingannare il nostro apparato visivo.