Geometria degli origami

Primo teorema di Haga

I tre teoremi di Kazuo Haga permettono, mediante particolari pieghe, di individuare sui lati di un foglio di carta quadrata particolari suddivisioni.

Primo teorema:

se, mediante una piegatura, il vertice B in basso a destra di un foglio quadrato di lato unitario viene portato a coincidere con il punto medio E del lato superiore CD

allora si ha:

• Il lato BC viene diviso dal punto F nella proporzione di 3:5;
• Il lato AD viene diviso dal punto H nella proporzione di 2:1;
• Il lato AD viene diviso dal punto G nella proporzione di 7:1;
• Il lato AB viene diviso dal punto H nella proporzione di 1:5.

I triangoli rettangoli ECF, HDE, HIG sono simili pechè hanno gli angoli corrispondeti uguali inoltre, EC=DE=1/2 e ponendo CF=x ne segue che BF=EF=1-x.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo ECF si ha:

E quindi CF=3/8, EF=5/8, EC=4/8 e il triangolo ECF è un triangolo pitagorico essendo i suoi lati proporzionali ai numeri 3,4,5. Dalla similitudine dei triangoli HDE e ECF possiamo scrivere:

DE : CF = DH : EC

Cioè

Anche il triangolo HDE essendo simile al triangolo ECF è un triangolo pitagorico e quindi i suoi lati misurano

Conoscendo HE possiamo determinare IH per differenza:

IH = 1 - HE = 1 - 5/6 = 1/6

Dalla similitudine dei triangoli HDE e ECF possiamo scrivere:

IG : CF = HI : EC

Cioè

Essendo anche il triangolo HIG pitagorico si ha:

Ecco tutte le suddivisioni ottenute: