Geometria degli origami

Trisezione di un angolo

Il problema della trisezione di un angolo vuol dire dividere un generico angolo in tre parti uguali con riga e compasso. Alcuni particolari angoli sono trisecabili con riga e compasso ad esempio un angolo retto o un angolo piatto ma non tutti gli angoli sono trisecabili con riga e compasso. E' questo uno dei classici problemi della matematica dell'antica Grecia irrisolvibile con riga e compasso mentre è risolvibile nella geometria degli origami applicando il sesto assioma.

• Primo metodo

  Consideriamo il foglio di carta di forma quadrata e mediante una piegatura costruiamo un qualsiasi angolo acuto BAE che ha per lato il lato AB del quadrato.

  

  Effettuiamo una piega orizzontale FG e successivamente pieghiamo il foglio in modo che il lato AB si sovrapponga alla linea retta FG e crei la traccia della linea HI.

  

  Effettuiamo la piega che porta A su HI e F su AE,

  

  Ora piegando lungo li linee AA' e AL viene trisecato l'angolo BAE.

  

  Piegando il foglio in modo da ottenere una linea retta passante per A' e perpendicolare a AB possiamo osservare che i tre triangoli rettangoli AMA', AA'L e ALF'sono congruenti.

  

  Infatti, il triangolo AA'L è il simmetrico del triangolo AMA' rispetto alla retta AA' e il triangolo ALF' è il simmetrico del triangolo AA'L rispetto alla retta Al pertanto i tre triangoli hanno i cateti corrispondenti congruenti e questo dimostra che i tre angoli con vertice in A sono congruenti.

  

• Secondo metodo.

  Consideriamo il foglio di carta di forma quadrata e mediante una piegatura costruiamo un qualsiasi angolo ottuso AOB

  

  Prendiamo sul lato OB dell'angolo un qualsiasi punto F e costruiamo il simmetrio F' rispetto al punto O.

  

  Pieghiamo lungo la retta r in modo che F cada su OC e F’ su OE contemporaneamente.

  

  Pieghiamo r su se stesso in modo da ottenere una linea retta t perpendicolare ad r passante per O. Questa perpendicolare t triseca l'angolo AOB cioè AOI = 1/3 AOB.

  

Perchè questo problema è irrisolvibile con riga e compasso? Consideriamo la trisezione di un generico angolo α.

Il problema equivale a determinare un angolo x uguale a:

Per determinare x possiamo utilizzare la formula trigonometrica:

Cioè:

Pertanto l'equazione che risolve il problema della trisezione dell'angolo è un'equazione di terzo grado. Abbiamo cosí tradotto un problema geometrico in un problema algebrico e quindi trasformata una costruzione geometrica in un'equazione. Ora, è stato dimostrato che le costruzioni che si possono eseguire con riga e compasso sono traducibili in equazioni di primo e secondo grado mentre le costruzioni irrisolvibili con riga e compasso sono traducibili in equazioni di terzo grado. Pertanto non possiamo, in generale, costruire con riga e compasso le soluzioni dell'equazione di terzo grado che abbiamo determinato.