Geometria degli origami

Costruzione di una parabola

Con le piegature è possibile costruire una parabola. Vediamo come ciò è possibile. Consideriamo un foglio di carta quadrato:

• Primo passo: scegliamo un punto P vicino al bordo inferiore del quadrato;

• Secondo passo: pieghiamo la carta in modo che il margine inferiori ripiegato passi per il punto scelto;

  

• Terzo passo: ripetiamo più volte il secondo passo cambiando la posizione della piega.

  

  Le tracce delle pieghe sono l'inviluppo delle tangenti alla parabola pertanto più è alto il numero delle pieghe più risulta evidente il profilo della curva.

Con questo procedimento il punto scelto P è il fuoco della parabola mentre il bordo inferiore del quadrato è la direttrice della parabola e la distanza del punto Q (appartenente alla parabola e alla retta tangente) dal punto P (il fuoco) è uguale alla distanza tra Q e R (un punto sulla direttrice). Si può vedere che i punti P e R sono simmetrici rispetto alla piega.

E questa costruzione con le pieghe soddisfatta la definizione: la parabola è il luogo dei punti equidistanti da una retta fissa detta direttrice e da un punto fisso detto fuoco. Possiamo determinare l'equazione della parabola considerando il sistema di assi cartesiani come si vede in figura:

Se indichiamo le coordinate dei punti P, Q, M e la direttrice con:

P(0, c), Q(x, y), M(x/2, 0), y = -c

Possiamo calcolare:

la pendenza della retta PR

e la pendenza della retta QM. Essendo QM perpendicolare a PR il prodotto delle loro pendenze è uguale a -1 pertanto:

Ora la pendenza della retta QM può essere determinata anche attraverso i punti Q e M:

E uguagliando l due espressioni si ha:

Che è l'equazione della parabola con il vertice nell'origine e il fuoco sull'asse delle y.

La costruzione della parabola deriva dall'applicazione del quinto postulato. Infatti, Se il punto Q è il fuoco di una parabola e il punto P è un punto della parabola e r è la direttrice della parabola allora in base al quinto postulato: assegnati due punti P e Q, e una retta r, si può piegare (se esiste) una retta per P che porti Q su r.