Geometria degli origami

Le sette operazioni di base

Come si è visto per la geometria degli origami la piegatura della carta è l'unico strumento che si può utilizzare ed è ottenibile sovrapponendo due parti del foglio di carta.

E gli enti fondamentali di questa geometria sono:

• il piano è il foglio di carta che si suppone semitrasparente;
• la retta è la traccia lasciata dalla piega oppure un bordo del foglio;
• il punto è l'intersezione di due pieghe.

Nel 1992 il matematico italo-giapponese Humiaki Huzita (1924-2005) ha individuato sei piegature fondamentali su cui si basano le costruzioni degli origami. Successivamente il matematico giapponese Koshiro Hatori ha aggiunto una settima piegatura fondamentale e queste sette piegature sono considerate gli assiomi della geometria degli origami.

• Primo assioma: Dati due punti P e Q costruibili, P ≠ Q, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.

  

  La piega descritta da questo assioma rappresenta la costruzione dell'unica retta passante per due punti distinti.

• Secondo assioma: Dati due punti P e Q costruibili, P ≠ Q, esiste un'unica piegatura che porti P su Q.

  

  La piega descritta da questo assioma rappresenta la costruzione dell'asse del segmento avente per estremi i due punti dati P e Q.

• Terzo assioma: Date due rette r e s costruibili, r ≠ s, esiste sempre una piegatura che porti r su s.

  

  Se le rette r e s sono parallele, si ottiene la retta parallela ed equidistante da entrambe; se invece r e s si intersecano si ottengono le bisettrici degli angoli formati dalle rette r e s.

• Quarto assioma: Dati un punto costruibile P e una retta costruibile r, esiste un'unica piegatura perpendicolare a r che passi per il punto P.

  

  Se il punto P appartiene alla retta r si ottiene la linea retta perpendicolare a r passante per un suo punto P.

• Quinto assioma: Dati due punti P e Q costruibili, P ≠ Q, e una retta r costruibile, se esiste, una piegatura passante per P che porti Q su r allora tale piegatura può essere costruita.

  

  Come vedremo, la piega descritta da questo assioma, se esiste, non è altro che la tangente alla parabola che ha per fuoco Q e direttrice r.

  

  Inoltre, le pieghe che rispettano l'enunciato di questo assioma possono essere zero, una o due.

• Sesto assioma: Dati due punti P e Q costruibili, P ≠ Q, e due rette r e s costruibili, se esiste una piegatura che porti contemporaneamente P su r e Q su s allora tale piegatura può essere costruita.

  

  Come vedremo, la piega descritta da questo assioma non è altro che la tangente comune a due parabole una di fuoco P e direttrice r, l'altra di fuoco Q e direttrice s.

  

  Inoltre, le pieghe che rispettano l'enunciato di questo assioma possono essere zero, una, due o tre.

• Settimo assioma: Dati un punto P costruibile e due rette r, s costruibili, esiste sempre una piegatura perpendicolare a r che porti P su s.

  

E' stato dimostrato che i primi cinque assiomi della geometria origami permettono di realizzare tutte le costruzioni geometriche euclidee con riga e compasso. Con l'aggiunta del sesto assioma si possono risolvere alcuni problemi classici non risolubili con riga e compasso, quali la duplicazione del cubo, la trisezione dell'angolo e la costruzione dell'ettagono e dell'ennagono regolari.