Geometria degli origami

Introduzione

Spesso ci capita di piegare un foglio di carta senza pensare che in giappone questa semplice operazione è alla base di un'affascinante forma d'arte che permette di trasformare un semplice foglio di carta in una mini scultura. Questa antica arte giapponese è nota con il nome di origami. Il termine origami deriva dalla composizione di due parole ori che significa piegare e kami che significa carta. Nella tradizione degli origami c'è una sola regola: tutte le forme degli oggetti devono essere realizzate esclusivamente piegando dei fogli di carta senza tagliarli e incollarli. E' sorprendente vedere che nonostante questa rigida regola un paio di abili mani riescono a trasformare dei fogli di carta in realistici modelli di fiori, uccelli, pesci, rane, elefanti e molti altri graziosi oggetti ed anche figure geometriche piane e solide.

Le piegature del foglio di carta lasciano delle traccie che sono delle linee rette e le intersezioni di queste rette sono punti e partendo da queste linee e dai punti con un pò di fantasia emerge una piacevole forma artistica.

Negli ultimi cinquant'anni questo piacevole passatempo ha suscitato un forte interesse anche nell'ambito della matematica. L'interesse nasce dal fatto che ripiegando la carta si possono costruire figure geometriche nel piano che nella geometria euclidea si ottengono con riga e compasso. Inoltre, si è scoperto che con le piegature è possibile risolvere problemi irrisolvibili con la geometria euclidea come ad esempio la trisezione di un angolo, la duplicazione del cubo e la costruzione di un ettagono regolare.

Alla base degli origami c'è quindi un modo nuovo di fare geometria che viene detta geometria degli origami oppure geometria della pigatura della carta oppure paper folding che ha, come vedremo, i suoi assiomi e i suoi teoremi medianti i quali è possibile creare un numero maggiore di costruzioni di poligoni regolari, rispetto alla geometria euclidea. E' possibile tradurre un problema geometrico in un problema algebrico e quindi trasformare una costruzione geometrica in un'equazione. In questo modo è stato dimostrato che le costruzioni che si possono eseguire con riga e compasso sono traducibili in equazioni di primo e secondo grado mentre le costruzioni irrisolvibili con riga e compasso sono traducibili in equazioni di terzo grado. Le costruzioni che si possono eseguire con la piegatura sono più ricche perchè sono traducibili anche in equazioni di terzo grado come la trisezione di un angolo. Negli ultimi anni molti insegnanti utilizzano le potenzialità della piegatura della carta in ambito didattico. E' stato osservato che la geometria fatta con le piegature, oltre ad essere un'attività piacevole e creativa, stimola la curiosità e l'interesse degli studenti. Essendo la geometria degli origami una geometria di tipo costruttiva lo studente può interagire direttamente con le figure geometriche che costruisce e l'insegnante può mettere in evidenza il diverso approccio tra le costruzioni con riga e compasso e le stesse costruzioni con la piegatura e dimostrare la validità delle costruzioni con la piegatura con il linguaggio algebrico. Inoltre, utilizzare più strumenti differenti permette di coinvolgere nell'attività didattica un maggior numero di studenti. La tecnica degli origami ha molte applicazioni pratiche. Gli origami si sono rivelati una grande fonte di ispirazione per architetti, ingegnieri e design: un foglio di carta non è resistente e si strappa facilmente, ma se viene piegato e ripiegato lo stesso foglio diventa molto più resistente e acquista qualità elastiche e meccaniche che prima non aveva. Con la piegatura si passa da una superficie liscia e piatta a una superficie articolata capace di modificare la propria conformazione tanto da assumere nello spazio diverse configurazioni.

Si è scoperto che piegando, con la tecnica degli origami, altri materiali sottili come la carta si possono creare nuove strutture che sono sia leggere che resistenti in grado di sostenere oggetti pesanti. Inoltre, l'arte degli origami consente di creare strutture piegate in forme compatte per il trasporto e poi facilmente dispiegabili in grandi strutture a destinazione. Nelle missioni spaziali le antenne dei satelliti vengono ripiegate in forme compatte, con la tecnica degli origami, prima del lancio e poi facilmente dispiegate nello spazio. Anche le lenti del telescopio Hubble sono state inviate piegate e successivamente dispiegate nello spazio. Gli scienziati della NASA stanno lavorando alla realizzazione di pannelli solari flessibili e piegati che possono essere dispiegati nello spazio e utilizzati per catturare l'energia irradiata dal sole.