Geometria degli origami

Piegatura Beloch

Il sesto assioma che stabilisce la possibilità dell'esistenza di una piegatura che porta contemporaneamente due punti P e Q a sovrapporsi rispettivamente su due rette r e s equivale alla determinazione di una tangente comune a due parabole che hanno per fuoco e direttrice i punti e le rette assegnate. Ad esempio in figura, dati i punti P e Q e le rette r e s la piegatura t porta contemporaneamente P su P' appartenete a r e Q su Q' appartenente a s (osserviamo che P e P' sono simmetrici rispetto alla retta t e anche Q e Q' sono simmetrici rispetto alla retta t). Ora, la piegatura t è anche una tangente comune a due parabole che hanno rispettivamente i fuochi in P e Q e per direttrici le rette r e s.

Ecco ad esempio le due parabole con le rispettive equazioni nel piano cartesiano

Nel caso particolare in cui le due rette r e s sono perpendicolari si può dimostrare che esiste sempre almeno una piegatura che porti contemporaneamente P su r e Q su s. In altre parole se le direttici di due parabole sono perpendicolari allora esiste almeno una tangente comune alle due parabole. Il sesto assioma fu introdotto per la prima volta negli anni trenta da Margherita Piazzolla Beloch (1879-1976), (docente di geometria e matematiche complementari presso l'Università di Ferrara) per dimostrare che la piegatura della carta permette di risolvere equazioni di terzo grado. Per questo motivo il sesto assioma è detto assioma di Beloch o piegatura Beloch. Si può anche dimostrare che se due parabole hanno le direttrici perpendicolari possono avere al massimo tre tangenti comuni e quindi per ogni coppia di punti P e Q e di rette r e s ci sono al massimo tre piegature Beloch che portano i due punti P e Q sulle due rette r e s. Nella figura P e P', Q e Q' si corrispondono mediante la piega t, P e P^", Q e Q^" si corrispondono mediante la piega u, P e P^"', Q e Q^"' si corrispondono mediante la piega v.