Geometria degli origami

Duplicazione del cubo

Il problema della duplicazione del cubo consiste nel costruire un cubo avente volume doppio rispetto a quello di un cubo di lato assegnato. Se l è il lato del cubo assegnato allora il lato del cubo di volume doppio ha per lato:

Se per semplicità poniamo l=1 il segmento da costruire deve essere lungo radice cubica di 2 e tale segmento non è costruibile con riga e compasso. Questo è un altro dei tre problemi classici della matematica greca irresolubile con riga e compasso ma risolvibile con la geometria degli origami. Consideriamo un foglio quadrato e dividiamo i lati verticali in tre parti.

Ora pieghiamo il foglio in modo da portare il punto B sul lato AD e il punto F sulla linea retta GH.

Dimostriamo che in quest'ultima figura il rapporto DB/AB è uguale alla radice cubica di 2. Supponiamo che AB sia 1 e DB sia x. In tal caso si ha:

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo AIB si ha:

Esprimiamo BG in funzione di x:

I triangoli BGF e ABI sono simili e quindi possiamo scrivere la proporzione