Geometria degli origami

Fare geometria senza riga e compasso

Quale forma deve avere il foglio di carta su cui si lavora? Non c'è nessuna regola che stabilisce la forma del foglio di carta ma generalmente, si preferisce un foglio di carta quadrato per la sua simmetria ma ciò non toglie che si possono utilizzare anche altre forme come ad esempio un comune foglio di carta A4 che è un rettangolo dove il rapporto tra i lati è 1:√2. E' importante che il foglio non contenga righe o quadretti, può essere bianco o colorato e soprattutto informe.

E' facile capire che il foglio rappresenta un modello concreto di piano e ogni volta che lo pieghiamo e poi lo apriamo la traccia della piega che abbiamo costruito (o disegnato) rappresenta un modello concreto di retta, che divide il foglio in due parti, due modelli concreti di semipiani, ma non è altrettanto facile costruire una linea retta proprio dove desideriamo. Consideriamo un foglio di carta quadrato e effettuiamo alcune piegature per capire quali linee rette vengono costruite.

• Piegare a metà il foglio.
  
  Ci sono due semplici possibilità:

  • far combaciare due lati opposti;

    

  • far combaciare due lati consecutivi oppure due vertici oppossti.

    

  Nel primo caso quando si riapre il foglio la traccia della piega è una linea retta cioè, una mediana o asse del foglio quadrato che lo divide in due rettangoli uguali se consideriamo anche i bordi del foglio. Nel secondo caso la linea retta è una diagonale del quadrato cioè una bisettrice di due angoli opposti che divide il foglio in due triangoli rettangoli isosceli uguali se consideriamo anche i bordi del foglio.

  

• Piegare in quattro parti uguali il foglio.
  
  In questo caso ci sono tre semplici possibilità:

  • far combaciare le due coppie di lati opposti;

  • far combaciare le due coppie di lati consecutivi;

  • far combaciare i lati opposti con la mediana.

  Nel primo caso si formano due linee mediane cioè, due linee incidenti che hanno in comune un modello concreto di punto, inoltre le due linee dividono il piano in quattro parti, ciascuna delle quali è un modello concreto di angolo che in questo caso sono tutti angoli retti e quindi le due linee sono perpendicolari. Si può far osservare che nella prima piegatura si forma una linea retta e nella seconda piegatura la linea retta viene piegata su se stessa e questo comporta la costruzione di una linea retta ad essa perpendicolare. Nel secondo caso si formano due linee diagonali che si intersecano in un punto e formano quattro angoli retti. Nel terzo caso si forma una mediana e due linee equidistanti dalla mediana le tre linee non hanno punti in comune e rappresentano un modello concreto di linee rette parallele. In tutti i casi il foglio viene diviso in quattro parti uguali; quattro quadrati, quattro triangoli rettangoli isosceli, quattro rettangoli.

  

• Piegare portando al centro del foglio i quattro vertici.
  
  In questo caso ci sono quattro linee rette che formano un quadrato avente la metà della superficie del foglio.

  

• Piegare in modo da eseguire tutte le piegature precedenti.

  

  Cosa osserviamo? Sono state costruite 12 linee rette che hanno diviso il foglio quadrato in 32 triangoli rettangoli isosceli congruenti. Possiamo anche osservare che si sono formate molte altre figure geometriche convesse: rettangoli, quadrati, parallelogrammi, trapezi, pentagoni, esagoni e triangoli rettangoli con varie dimensioni.

  

  E naturalmente anche molte figure geometriche concave.

  

• Tracciare un segmento.
  
  Effettuare due pieghe che si intersecano in un punto A che rappresenta il primo estremo del segmento. Effettuare un'ulteriore piega che si intersechi con la prima piega. Viene cosí individuato il secondo estremo B.

  

• Tracciare una linea retta parallela ad un'altra passante per un punto.
  
  Tracciamo una qualsiasi linea retta r piegando e aprendo il foglio.

  

  Consieriamo un punto P non appartenete a r e pieghiamo il foglio in modo che la piega passi per il punto P e faccia sovrapporre la linea retta r a se stessa.

  

  In questo modo si ottiene la linea retta t passante per P e perpendicolare a r. Ora pieghiamo il foglio in modo che la piega passi per P e facia sovrapporre la linea retta t a se stessa.

  

  La linea retta s è perpendicolare a t, parallela a r e passante per P.

Vediamo ora alcune costruzioni mediante la piegatura.

• Costruire la bisettrice di un angolo formato da due linee rette avente un punto in comune.
  
  Costruiamo, mediante due piegature, due linee rette incidenti non perpendicolari. Queste intersecandosi in un punto formano due coppie di angoli opposti al vertice.

  

  Poi eseguiamo una piegatura in modo da sovrapporre le due linee costruite. La traccia di quest'ultima piegatura è una linea retta che è la bisettrice di due angoli opposti. Come si può osservare bisecare un angolo è molto semplice e non occorre nè la riga nè il compasso come accade nella geometria euclidea.

  

  Nella costruzione della bisettrice di un angolo con riga e compasso dato un angolo BAC bisogna: puntare il compasso in A con apertura a piacere e tracciare un arco di circonferenza e indicare i punti D e E le intersezioni con i lati dell'angolo. Con centro nei punti D e E e apertura del compasso maggiore della metà DE tracciare due archi che si intersecano nel punto F. Tracciare una semiretta passante per i punti A e F. La semiretta AF è la bisettrice dell'angolo BAC.

  

• Costruire un triangolo equilatero avente per lato un bordo del foglio.
  
  Per semplicità indichiamo con A, B, C, D i vertici del foglio, pieghiamolo a metà sovrapponendo i lati opposti CD e AB e apriamolo. Si vede la traccia EF della piega che divide a metà il foglio ossia la mediana del quadrato.

  

  Portiamo il vertice D sulla mediana forzando la piegatura a passare per il vertice A e poi apriamo il foglio. Si vede la traccia AG della piega che dall'angolo A incontra in G il bordo superiore CD.

  

  Portiamo il vertice C sulla mediana forzando la piegatura a passare per il vertice B e poi apriamo il foglio. Si vede la traccia BI della piega che interseca la piega AG nel punto L.

  

  Il triangolo ABL è equilatero perchè ha tre angoli di 60°. Infatti se osserviamo la figura:

  

  I triangoli rettangoli ADG e APD sono congruenti con il cateto maggiore doppio del cateto minore e quindi entambi hanno un angolo acuto di 30° e l'altro di 60°. Pertanto gli angoli:

  DAG = GAP = PAE = 30° e GAB = 60°

  Nella costruzione del triangolo equilatero con riga e compasso dato il lato AB bisogna: puntare il compasso in A con apertura AB e tracciare una circonferenza poi con la stessa apertura di compasso puntare in B e tracciare un'altra circonferenza. Il punto L d'incontro delle due circonferenze è il terzo vertice del triangolo e unendo A, B e L si ottiene il triangolo equilatero.

  

  Il procedimento con riga e compasso permette di trovare il punto L sull'asse del segmento AB e quindi equidistante da A e B e tale che:

  AB = AL = BL

  Con il procedimento delle piegature si ottiene lo stesso punto L sull'asse del segmento AB e quindi le due procedure sono equivalenti. Nella geometria euclidea il compasso viene utilizzato per la riproduzione del segmento AB, nella geometria delle pieghe ciò è ottenuto mediante la piega del vertice D o del vertice C sulla mediana. Le due operazioni: uso del compasso per il trasporto di un segmento e piega di un vertice sulla mediana sono quindi equivalenti.
  
  Dal punto di vista algebrico il punto L si ottiene dalle soluzioni comuni di due equazioni di secondo grado in due incognite (sono le equazioni delle due circonferenze di raggio AB):

  x² + y² = AB²;      (x + AB)² + y² = AB²

  

  Se per semplicità assumiamo AB = 1 si ha:

  x² + y² = 1;      (x +1)² + y² = 1

  E le soluzioni comuni sono:

  

  Che rappresentano le coordinate di L (x è il punto medio di AB e y è l'altezza).

  

• Costruire un triangolo isoscele acutangolo.
  
  Indichiamo con A, B, C, D i vertici del foglio e tracciamo la diagonale piegando il foglio sovrapponendo i lati consecutivi AD e AB poi eseguiamo le piegature portando i vertici D e B sulla diagonale.

  

  Come si vede si è formato il deltoide AECF. Ora se pieghiamo lungo la diagonale minore EF otteniamo il triangolo isoscele acutangolo.