Geometria degli origami

Poligoni regolari con piegature

La costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso è stato uno dei problemi geometrici più analizzato e discusso fin dall'antichità. Questo problema è noto anche con l'appellativo di ciclotomia perchè ogni poligono regolare è inscrittibile in una circonferenza e ciò prevede la divisione in parti uguali della circonferenza.

Ben presto furono scoperte le costruzioni dei poligoni regolari con 3, 4, 5, 6 e 15 lati e tramite le bisettrici degli angoli al centro di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza si sapeva costruire anche uno di 2n lati.

Pertanto gli antichi Greci conoscevano già le costruzioni dei poligono regolari con 2^k⋅n lati (k>1) dove n=3, 4, 5, 6, 15. Per 20 secoli questi erano gli unici poligoni regolari di cui si conosceva la loro costruzione con riga e compasso. Nel 1796 a 19 anni Carl Friedrich Gauss (1777-1855) scoprí che il poligono regolare con 17 lati è costruibile con riga e compasso e dimostrò che i poligoni regolari costruibile con riga e compasso devono necessariamente avere un numero di lati uguali a

dove p₁, p₂, ..., p_k sono numeri primi distinti di Fermat cioè numeri della forma:

Gli unici numeri primi di Fermat sono: 3, 5, 17, 257, 65537. Con questa scoperta i poligoni regolari con n lati sono costruibili con riga e compasso solo se n=3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, ... non sono invece costruibili i poligoni regolari con 7, 9, 11, 13, 14, ... lati. Gauss scoprí che costruire un poligono regolare di n lati equivale a costruire tutte le radici complesse dell'equazione

xⁿ - 1 = 0 con n ≥ 3

Con meraviglia si è scoperto che l'equazione xⁿ - 1 = 0 è risolubile piegando la carta se e solo se n è della forma:

dove p₁, ..., p_r sono numeri distinti della forma:

2^m ⋅ 3ⁿ + 1

In altre parole, con la piegatura della carta, è possibile costruire sia l'ettagono regolare sia l'ennagono regolare. E questo è un'altra conferma che con gli origami si possono fare più costruzioni di quelle che si possono fare con riga e compasso. Le potenzialità della piegatura della carta derivano dal sesto assioma di Huzita ossia della piegatura Beloch. Vediamo la costruzione dell'ettagono regolare mediante piegature conoscendo un vertice A dell'ettagono e il suo centro O.

• Pieghiamo il foglio in modo da ottenere il punto B simmetrico di A rispetto al punto O poi apriamo il foglio e pieghiamolo in modo da sovrapporre B con O e apriamo di nuovo il foglio. La traccia della piega è la retta r asse del segmento BO.

  

• Pieghiamo il foglio in modo da ottenere il punto B' simmetrico di B sulla retta r e apriamo il foglio. Pieghiamo ancora il foglio in modo da ottenere la retta s parallela a AB.

  

  Le rette r e s rappresentano rispettivamente le direttrici ortogonali di due parabole che hanno rispettivamente il fuoco in A e in B.

• Ora, effettuiamo le tre piegature Beloch:

  • Pieghiamo il foglio lungo la retta t in modo da portare A sulla retta s e B sulla retta r e apriamo il foglio.

  • Pieghiamo il foglio lungo la retta u in modo da portare A sulla retta s e B sulla retta r e apriamo il foglio.

  • Pieghiamo il foglio lungo la retta v in modo da portare A sulla retta s e B sulla retta r e apriamo il foglio.

    

• Le tre rette t, u v si intersecano nei punti C, D e F; questi punti e i loro riflessi G, H, E rispetto alla retta AB sono i restanti vertici dell'ettagono regolari.

  

  Ecco l'ettagono con le due parabole.