Cosa devi sapere sui limiti

Limiti di funzioni irrazionali di indice pari

Le funzioni irrazionali di indice pari hanno per dominio l'insieme [0, +∞) e sono continue nel loro dominio.

Nel calcolo dei limiti di queste funzioni, si possono presentare le seguenti forme di indecisione:

+∞ - ∞     0 ⋅ ∞     0/0     ∞/∞

Con alcuni esempi vedremo le strategie più comuni per rimuovere le forme di indecisioni.

• Limiti in cui si presenta la forma indeterminata +∞-∞.

  Esempio 1 Calcoliamo il limite della funzione irrazionale:

  

  Per eliminare l'indeterminazione si moltiplica e si divide la funzione per il fattore:

  

  In questo modo si ottiene:

  

  Risulta quindi:

  
• Limiti in cui si presenta la forma indeterminata 0/0.

  Esempio 2 Calcoliamo il limite della funzione irrazionale:

  

  Per eliminare l'indeterminazione si possono utilizzare due metodi:

  • Primo metodo: fattorizzare il denominatore:
    

    si ha pertanto:

    
  • Secondo metodo: razionalizzare il numeratore:

    si ha pertanto:

    
• Limiti in cui si presenta la forma indeterminata ∞/∞.

  Esempio 3 Calcoliamo il limite della funzione irrazionale:

  

  Per eliminare l'indeterminazione raccogliamo la variabile di grado massimo al numeratore e al denominatore:

  

  Siccome x tende a più infinito sarà sicuramente maggiore di zero e quindi:

  

  Si ottiene:

  
• Limiti in cui si presenta la forma indeterminata 0 ⋅ ∞.

  Esempio 4 Calcoliamo il limite della funzione irrazionale:

  

  a) Siccome x tende a più infinito x sarà sicuramente maggiore di zero e quindi portandolo sotto radice si ha:

  

  b) Siccome x tende a meno infinito x sarà sicuramente minore di zero e quindi per portandolo sotto radice dobbiamo mettere il segno meno fuori dalla radice: