Cosa devi sapere sui limiti

Limiti notevoli di funzioni esponenziali e logaritmiche

Il limite notevole di riferimento per le funzioni esponenziali e logaritmiche è:

dove la lettera e indica il numero irrazionale 2,7182... detto numero di Nepero. Osserviamo che il limite della funzione:

per x che tende a più infinito si presenta nella forma indeterminata 1^∞, mentre come si vede dal grafico della funzione la curva per x che tende a più o meno infinito si avvicina sempre di più alla retta y=2,7182... che rappresenta l'asintoto orizzontale della funzione:

Partendo da questo limite si possono dimostrare altri limiti notevoli:

1. Consideriamo il limite notevole:

   Dimostrazione:

   Questo limite si presenta nella forma indeterminata ∞⋅0. Applicando la proprietà dei logaritmi possiamo riscrivere il limite in cui è presente il limite notevole di riferimento:

   
2. Consideriamo il limite notevole:

   Dimostrazione:

   Questo limite si presenta nella forma indeterminata 1^∞. Per eliminare l'indecisione si opera un cambiamento di variabile ponendo:

   

   In questo modo se x tende a zero allora t tende a più infinito e quindi possiamo scrivere:

   
3. Consideriamo il limite notevole:

   Dimostrazione:

   Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Applicando la proprietà dei logaritmi e tenendo conto del limite notevole precedente si ha:

   
4. Consideriamo il limite notevole:

   Dimostrazione:

   Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Per eliminare l'indecisione si opera un cambiamento di variabile ponendo:

   

   Cioè:

   

   Da questa relazione si può ottenere:

   x = ln(t + 1)

   Inoltre, se x tende a zero anche ln(t + 1) tende a zero e quindi possiamo scrivere:

   

Vediamo con degli esempi come i limiti notevoli possono essere utili per risolvere altri limiti più complessi che si presentano in una forma indeterminata.

• Esempio 1: Calcolare il limite:

  Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Moltiplicando numeratore e denominatore per radice quadrata di tre si ottiene:

  

  Ora, per ottenere un limite notevole dobbiamo operare un cambio di variabile ponendo √3 x = t e da questo cambio si vede anche che quando x tende a zero anche t tende a zero per cui il limite diventa:

  
• Esempio 2: Calcolare il limite:

  Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Per ottenere un limite notevole dobbiamo operare un cambio di variabile ponendo sinx = t e da questo cambio si vede anche che quando x tende a zero anche t tende a zero per cui il limite diventa:

  
• Esempio 3: Calcolare il limite:

  Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Per ottenere un limite notevole dobbiamo moltiplicare e dividere per tanx.