Cosa devi sapere sui limiti

L'algebra dei limiti

Vediamo le regole che ci permettono di calcolare i limiti delle funzioni ottenute componedo più funzioni elementari mediante le usuali operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

• Prima regola: funzioni che hanno limiti finiti.
  
  Supponiamo che il limite della funzioni f(x) per x che tende a x₀ sia uguale a l e il limite della funzioni g(x) per x che tende a x₀ sia uguale a m:

  

  dove l, m ∈ R e x₀∈ R^*. Allora si ha:

  

  Esempio 1: Consideriamo le due funzioni f(x) = 4x + 2 e g(x) = 5 - x e i loro limiti per x tendente a 3 ossia:

  

  Componendo le due funzioni si ha:

  

  Esempio 2: Calcola

  

  Eseguendo si ha:

  

  Esempio 3: Calcola

  

  Eseguendo si ha:

  

• Seconda regola: funzioni che non hanno entrambi limite finito.

  • Somma:

    

    La somma +∞-∞ è detta forma indeterminata e ciò non vuol dire che il limite non si possa calcolare. Vedremo più avanti com'è possibile eliminare la causa dell'indeterminazione.

  • Prodotto:

    

    Anche i prodotti 0⋅(+∞) e 0⋅(-∞) sono forme indeterminate e vedremo più avanti com'è possibile eliminare la causa dell'indeterminazione.

  • Quoziente:

    

    Anche i quozienti 0/0 e ∞/∞ sono forme indeterminate e vedremo più avanti com'è possibile eliminare la causa dell'indeterminazione. possibili.
    

    Nell'algebra dei limiti bisogna fare attenzione al segno dello zero perchè se si ha un numero molto piccolo ma positivo del tipo +0,000001 possiamo allora considerarlo come 0⁺, invece se si ha un numero molto piccolo ma negativo del tipo -0,000001 possiamo allora considerarlo come 0^-. Vediamo di chiarire la questione con un esempio.
    
    Risolvere i due limiti:

    

    Esaminiamo il primo limite: La x tende a 2 da sinistra e quindi sarà sempre minore di 2 anche se di una quantità molto piccola pertando la differenza 2^- - 2 può essere considerata come 0^- e quindi si ha:

    

    Nel secondo limite la x tende a 2 da destra e quindi sarà sempre maggiore di 2 anche se di una quantità molto piccola pertando la differenza 2⁺ - 2 può essere considerata come 0⁺ e quindi si ha:

    

    Pertanto si hanno i seguenti casi:

    

    Esempio 4: Consideriamo i limiti delle le due funzioni f(x) e g(x):

    

    I limiti delle funzioni somma e prodotto sono rispettivamente:

    

    Esempio 5: Consideriamo i limiti delle le due funzioni f(x) e g(x):

    

    e il limite del quoziente delle due funzioni.
    
    Il numeratore tende a un numero finito negativo diverso da zero mentre il denominatore tende a 0^- e quindi il numeratore e il denominatore hanno entrambi il segno negativo e quindi il limite è uguale a +∞: