Cosa devi sapere sui limiti

Limiti di funzioni polinomiali in forma indeterminata +∞-∞

Le funzioni polinomiali:

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ... + a_n

hanno come dominio l'insieme R e sono continue in tutto il campo di esistenza e quindi nel calcolo del limite di una funzione polinomiale ci si può imbattere in una forma di indecisione del tipo +∞-∞ solo per x che tende a ±∞. Ad esempio ciò accade per il limite:

Infatti, se calcoliamo il limite di ogni termine della funzione si ottiene:

E quindi il limite della funzione polinomiale si presenta nella forma indeterminata +∞-∞. La strategia per eliminare l'indeterminazione consiste nel raccogliere a fattore comune la variabile x col massimo esponente:

In questo modo, la funzione si presenta come un prodotto dove il limite del primo fattore tende a più infinito e il limite del secondo fattore, quello racchiuso nelle parentesi tonde, tende a 1 e quindi possiamo calcolare il limite applicando la regola del prodotto di due funzioni.

In generale:

Per eliminare l'eventuale indeterminazione +∞-∞ del limite di una funzione polinomiale per x che tende a più infinito o a meno infinito si raccoglie a fattore comune la x col massimo esponente e poi si calcola il limite applicando la regola del prodotto di due funzioni:

In pratica per calcolare il limite di una funzione polinomiale per x che tende a più o meno infinito basta calcolare il limite del suo termine di grado massimo: