Cosa devi sapere sui limiti

Limite di una funzione razionale fratta per x → x₀

Quando calcoliamo il limite di una funzione razionale con x che tende a x₀ (con x₀ numero finito) possono presentarsi quattro casi:

1. Sostituendo x con x₀ nella funzione non si annulla nè il numeratore nè il denominatore;
2. Sostituendo x con x₀ nella funzione si annulla solo il numeratore;
3. Sostituendo x con x₀ nella funzione si annulla solo il denominatore;
4. Sostituendo x con x₀ nella funzione si annulla sia il numeratore che il denominatore.

Nei primi due casi la funzione è continua nel punto x₀ e quindi si ha:

Vediamo due esempi:

• Esempio 1:
• Esempio 2:

Nel terzo caso annullandosi solo il denominatore significa che la funzione non è definita in x₀, cioè x₀ non è compreso nel dominio della funzione che è D=R-{x₀}, possiamo anche dire che la funzione non è continua nel punto x₀. In questo caso bisogna vedere come si comporta la funzione in un intorno destro e in un intorno sinistro di x₀. Vediamo due esempi:

• Esempio 3:

  Sostituendo x con 2 nella funzione si ottiene la frazione senza significato 5/0. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro

  

  Come si vede, i due limiti sono diversi e quindi il limite della funzione per x che tende a x₀ non esiste.

• Esempio 4:

  Sostituendo x con 2 nella funzione si ottiene la frazione senza significato 5/0. Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro

  

  Come si vede, i due limiti sono uguali e quindi il limite della funzione per x che tende a x₀ è uguale a più infinito.

Nel quarto caso annullandosi sia il numeratore che il denominatore sostituendo nella funzione x con il valore di x₀ si ottiene la forma indeterminata 0/0 e questo vuol dire che sia il numeratore che denominatore sono divisibili per (x-x₀). Pertanto, in questi casi, per eliminare l'indeterminazione bisogna scomporre numeratore e denominatore, semplificare la frazione e calcolare il limite della frazione ridotta ai minimi termini. Vediamo un esempio.

• Esempio 5:

  Riducendo ai minimi termini la frazione si ottiene una funzione continua nel punto x=2 e quindi possiamo facilmente calcolare il suo limite.