Cosa devi sapere sui limiti

Confronto tra infinitesimi e infiniti

Nei limiti di funzioni le più frequenti forme di indecisione sono dovute alla differenza tra due funzioni che tendono a infinito oppure dal rapporto di due funzioni che tendono a zero o a infinito. In questi casi per risolvere l'indecisione è importante conoscere, dal confronto di due funzioni, qual è quella che va a zero o a infinito più rapidamente dell'altra. Si dice che una funzione f(x) è un infinitesimo rispetto a x che tende a x₀ se:

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe infinitesime per x che tende a x₀, si possono presentare quattro casi:

• f(x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x) se

  

  cioè f(x) tende a zero più rapidamente di g(x).
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=1-cosx e g(x)=x sono entrambe infinitesime rispetto a x che tende a zero e dato che:

  

  possiamo dire che (1-cosx) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a x.

• f(x) è un infinitesimo dello stesso ordine rispetto a g(x) se

  

  cioè f(x) e g(x) tendono a zero con la stessa velocità.
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=sinx e g(x)=x sono entrambe infinitesime rispetto a x che tende a zero e dato che:

  

  possiamo dire che sinx e x sono un infinitesimo dello stesso ordine.

• f(x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x) se

  

  cioè g(x) tende a zero più rapidamente di f(x).
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=sinx e g(x)=x² sono entrambe infinitesime rispetto a x che tende a zero e dato che:

  

  possiamo dire che x² è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a sinx.

• f(x) non è confrontabile con g(x) se

  

  cioè non è possibile stabilire quale delle due funzioni tende a zero più rapidamente.

Si dice che una funzione f(x) è un infinito rispetto a x che tende a x₀ se:

Se due funzioni f(x) e g(x) sono entrambe infinite per x che tende a x₀, si possono presentare quattro casi:

• f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x) se

  

  cioè f(x) tende a infinito più rapidamente di g(x).
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=x² e g(x)=lnx sono entrambe infinite rispetto a x che tende a più infinito e:

  

  Il limite si presenta nella forma indeterminata ma se osserviamo il grafico delle due funzioni possiamo facilmente verificare che x² è un infinito di ordine superiore rispetto a lnx.

  

• f(x) è un infinito dello stesso ordine rispetto a g(x) se

  

  cioè f(x) e g(x) tendono a infinito con la stessa velocità.
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=x³-2x²+1 e g(x)=4x³-x+3 sono entrambe infinite rispetto a x che tende a più infinito e:

  

  possiamo dire che x³-2x²+1 e 4x³-x+3 sono infiniti dello stesso ordine.

• f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x) se

  

  cioè g(x) tende a infinito più rapidamente di f(x).
  
  Ad esempio le funzioni f(x)=lnx e g(x)=√x sono entrambe infinite rispetto a x che tende a infinito e:

  

  possiamo dire che √x è un infinito di ordine superiore rispetto a lnx.

• f(x) non è confrontabile con g(x) se

  

  cioè non è possibile stabilire quale delle due funzioni tende a infinito più rapidamente.

Osservando il grafico delle funzioni elementari:

Possiamo facilmente vedere quale funzione ha una crescita maggiore delle altre e quindi stabilire una scala di confronto tra i limiti delle funzioni per x che tende a più infinito.

Vediamo con qualche esempio l'utilità di questa scala degli infiniti.

• Esempio 1: Calcolare il limite:

  

  Il limite si presenta nella forma indeterminata ∞-∞. Sapendo che la funzione e^x va a infinito più rapidamente di x² mettiamo a fattore comune e^x:

  

  Ora, essendo x² un infinito di ordine inferiore rispetto a e^x il rapporto x²/e^x va a zero per x che tende a più infinito e quindi il valore del limite è:

  

• Esempio 2: Calcolare il limite:

  

  Il limite si presenta nella forma indeterminata (∞-∞)/∞. Sapendo che al numeratore la funzione e^x va a infinito più rapidamente di x² e al denominatore la funzione 4x va a infinito più rapidamente di lnx mettiamo a fattore comune e^x al numertore e 4x al denomitatore :

  

  Ora, possiamo facilmente capire che il limite è uguale a più infinito: