Cosa devi sapere sui limiti

Definizione di limite

Definiamo ora, il concetto di limite evitando quei termini intuitivi come "avvicinarsi", "sempre più vicino" ma non rigorosi dal punto di vista matematico. Dobbiamo prima di tutto introdurre alcune definizioni.

Chiameremo sistema ampliato dei numeri reali e lo indicheremo con il simbolo R^* l'insieme dei numeri reali con l'aggiunta di due elemento +∞ (si legge più infinito) e -∞:

R^* = R ∪ { ±∞ }

Chiameremo intorno completo di un punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra ]a, b[ contenente x₀ e indicheremo ciò con la scrittura

I(x₀) = ]a, b[ tale a < x₀ < b

Ad esempio l'intervallo aperto ]2, 5[ è un intorno del punto x₀=3.

Chiameremo intorno circolare di un punto x₀ di raggio δ, con δ>0, l'intervallo aperto ]x₀-δ, x₀+δ[. Ora se un punto x appartiene ad un intorno circolare x₀ allora la sua distanza da x₀ è più piccola di δ ossia |x-x₀|<δ.

Chiameremo intorno sinistro di un punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo destro proprio il punto x₀. Chiameremo intorno destro di un punto x₀ un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra che ha come estremo sinistro proprio il punto x₀.

Definizione di limite di una funzione per x che tende a un valore x₀.

Data una funzione f(x) si dice che per x che tende a x₀ la funzione f(x) ha per limite l e si scrive:

con x₀, l ∈ R^* se per ogni intorno (l-ε, l+ε) di l, sull'asse delle ordinate, esiste un intorno (x₀-δ, x₀+δ) di x₀, sull'asse delle ascisse, tale che per ogni x appartenente a questo intorno con x≠x₀ risulta che f(x) appartiene all'intorno di l per cui si ha |f(x)-l|<ε per ogni ε maggiore di zero.

Si possono presentare quattro situazioni diverse che dipendono dai valori finiti o infiniti di x₀ e l:

1. x₀ e l entrambi finiti;

2. x₀ finito e l infinito;

3. x₀ infinito e l finito;

4. x₀ e l entrambi infiniti.