Cosa devi sapere sui limiti

Limiti di funzioni razionali fratte in forma indeterminata ∞/∞

Le funzioni razionali fratte:

hanno come dominio l'insieme R privato degli eventuali valori di x tali che D(x)=0 e sono continue nel loro dominio. Nel calcolo dei limiti di queste funzioni, oltre alla forma di indecisione 0/0 per x che tende a un valore finito, (che abbiamo già trattato) si può presentare anche la forma indeterminata ∞/∞ per x che tende a più o meno infinito. In quest'ultimo caso si possono avere tre possibili situazioni:

• Il grado del numeratore è maggiore del grado del denominatore.
  
  Esempio 1 Calcoliamo il limite della funzione polinomiale fratta:

  

  Raccogliamo a fattore comune x⁴ al numeratore e x² al denominatore:

  

  Poichè x tende a più infinito siamo sicuri che è diverso da zero e quindi possiamo semplificare x⁴ con x² e calcolare il limite applicando la regola del quoziente tra due funzioni.

  

• Il grado del numeratore è uguale al grado del denominatore.
  
  Esempio 2 Calcoliamo il limite della funzione polinomiale fratta:

  

  Raccogliamo a fattore comune x² sia al numeratore sia al denominatore, semplifichiamo e calcoliamo il limite con la regola del quoziente di due frazioni:

  

• Il grado del numeratore è minore del grado del denominatore.
  
  Esempio 3 Calcoliamo il limite della funzione polinomiale fratta:

  

  Raccogliamo a fattore comune x² al numeratore e x³ al denominatore, semplifichiamo e calcoliamo il limite con la regola del quoziente di due funzioni:

  

  In generale, il limite di una funzione polinomiale fratta col numeratore di grado n e il denominatore di grado m è uguale a: