Cosa devi sapere sui limiti

Introduzione al concetto di limite

Per limite di una funzione f(x) si intende un'operazione matematica che consente di stabilire a quale valore si avvicina la funzione f(x) quando la variabile x tende a un dato valore x₀. Ad esempio, data la funzione y=x+3 vogliamo sapere a quale valore si avvicina la funzione quando la variabile x tende al valore 1. Per descrivere questa operazione si scrive:

che si legge il limite di x+3 per x che tende a 1.

Ossservando il grafico della funzione y=x+3 possiamo facilmente comprendere che quando più la x si avvicina al punto di ascissa uguale a 1 sia dalla sua sinistra (ossia per valori minori di 1) che dalla sua destra (ossia per valori maggiori di 1) tanto più la funzione y=x+3 si avvicina al valore 4.

Possiamo quindi scrivere:

che si legge il limite di x+3 per x che tende a 1 è uguale a 4. Naturalmente questo primo esempio è molto semplice e non era necessario tracciare il grafico della funzione per prevedere il valore del limite perchè come si può facilmente notare 4 è proprio il valore che la funzione assume sostituendo a x il valore 1 ossia f(1)=1+3=4, cioè

Attenzione! Non è sempre così semplice. Vediamo allora un altro esempio meno banale del precedente. Data la funzione

vogliamo sapere a quale valore si avvicina la funzione quando la variabile x tende al valore 1, cioè:

Se sostituiamo x=1 nella funzione otteniamo una frazione con denominatore zero che come sappiamo non ha significato.

Essendo la funzione non definita per x=1 non è vero che il limite della funzione per x che tende a 1 è uguale al valore che la funzione assume sostituendo a x il valore 1. In questo caso è utile tracciare il grafico della funzione per capire cosa succede quando x si avvicina a 1. Tracciando il grafico della funzione otteniamo i due rami dell'iperbole in figura:

Ora, dal grafico è possibile vedere che la funzione è discontinua in prossimità di x=1 e la retta x=1 è un asintoto verticale della curva ossia il grafico non interseca la retta x=1; gli si avvicina però sempre più, se i valori di x si prendono via via sempre più vicini a 1. Dal grafico è anche possibile vedere che quando più la x si avvicina al punto di ascissa uguale a 1 dalla sua sinistra tanto più i valori della funzione diventano sempre più piccoli, ovvero tendono a -∞, mentre quando più la x si avvicina al punto di ascissa uguale a 1 dalla sua destra tanto più i valori della funzione diventano sempre più grandi, ovvero tendono a +∞. Per distinguere i due casi si scrive:

dove la scrittura x→1^- indica che x tende a 1 assumendo sempre valori minori di 1, ovvero, x tende a 1 mantenendosi in un intorno sinistro di 1 e per tale motivo il limite è detto limite sinistro.

dove la scrittura x→1⁺ indica che x tende a 1 assumendo sempre valori maggiori di 1, ovvero, x tende a 1 mantenendosi in un intorno destro di 1 e per tale motivo il limite è detto limite destro.

Per comprendere cosa succede alla funzione in prossimità di x=1 possiamo utilizzare il metodo numerico che consiste nel calcolare i valori che la funzione assume quando la variabile x assume valori vicini a 1 quanto si vuole come si vede nella seguente tabella:

Per valori di x ancora più vicini a 1, per esempio x=1,000001 o x=0,999999 i corrispondenti valori della funzione risultano:

f(1,000001)=1.000.002 e f(0,999999) = -999.998

e quindi diventano grandi o piccoli quanto si vuole.

Quando il limite destro e il limite sinistro di una funzione per x che tende a x₀ hanno due valori differenti allora si dice che il limite della funzione per x che tende a x₀ non esiste.