Indice
Introduzione al concetto di limiteDefinizione di limite
Il limite nelle funzioni continue
I limiti delle funzioni elementari agli estremi
L'algebra dei limiti
Limite di una funzione razionale fratta per x → x0
Limiti di funzioni polinomiali in forma indeterminata +∞-∞
Limiti di funzioni razionali fratte in forma indeterminata ∞/∞
Limiti di funzioni irrazionali di indice pari
Limiti notevoli di funzioni goniometriche
Limiti notevoli di funzioni esponenziali e logaritmiche
Limiti delle funzioni composte
Confronto tra infinitesimi e infiniti
Asintoti verticali e orizzontali
Limiti notevoli di funzioni goniometriche
Alcuni limiti che riguardano le funzioni goniometriche, le funzioni esponenziali e le funzioni logaritmiche sono fondamentali per risolvere altri limiti particolarmente complessi che si presentano in una forma indeterminata del tipo 0/0 e per questo motivo vengono detti limiti notevoli.
Il limite notevole di riferimento per le funzioni trigonometriche è il limite del rapporto tra il seno di un angolo (espresso in radianti) e l'angolo stesso che tende a 1 quando l'angolo tende a zero:
La funzione f(x)=sin(x)/x non è definita per x=0 e il limite della funzione per x che tende a zero si presenta nella forma indeterminata 0/0. Possiamo facilmente verificare che la funzione f(x)=sin(x)/x è pari essendo f(-x)=f(x) e quindi per dimostrare che il limite di f(x)=sin(x)/x tende a 1 per x che tende a zero è sufficiente mostrare che è 1 il limite per x che tende a 0+. Ora, possiamo costatare che se si scelgono valori di x vicini quanto si vuole a 0+, ma distinti da questo, i corrispondenti valori della funzione saranno valori vicini a 1 quanto si vuole. Inoltre, si può anche dimostrare geometricamente che il limite di tale funzione per x→0+ è uguale a 1.
Partendo da questo limite si possono dimostrare altri limiti notevoli:
- Consideriamo il limite notevole:
Dimostrazione:
Questo limite si presenta nella forma indeterminata 0/0 ma si può facilmente eliminare l'indeterminazione sostituendo tanx con sinx/cosx:
In questo modo, la funzione iniziale viene trasformata nel prodotto di due funzioni e i limiti di queste due funzioni sono entrambi uguali a 1 per x che tende a zero e quindi si può calcolare il limite applicando la regola del prodotto di due funzioni.
- Consideriamo il limite notevole:
Dimostrazione:
Anche questo limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. In questo caso si può eliminare l'indeterminazione moltiplicando numeratore e denominatore per 1+cosx e trasformare la funzione iniziale nel prodotto di due funzioni e infine calcolare il limite applicando la regola del prodotto di due funzioni:
- Consideriamo il limite notevole:
Dimostrazione:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0 e si può eliminare l'indeterminazione moltiplicando numeratore e denominatore per 1+cosx e trasformare la funzione iniziale nel prodotto di due funzioni e infine calcolare il limite applicando la regola del prodotto di due funzioni:
Vediamo con degli esempi come i limiti notevoli possono essere utili per risolvere altri limiti più complessi che si presentano in una forma indeterminata.
- Esempio 1: Calcolare il limite:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Mettendo a fattore comune la variabile x al numeratore e al denominatore si ottiene:
In questo modo, il limite non si presenta nella forma indeterminata e lo si può calcolare applicando la regola del quoziente di due funzioni:
- Esempio 2: Calcolare il limite:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0, mettendo a fattore comune la variabile x al numeratore e al denominatore e semplificando si ottiene il limite non più in forma indeterminata il cui valore è:
- Esempio 3: Calcolare il limite:
Il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0. Moltiplicando numeratore e denominatore per tre si ottiene:
Ora, per ottenere il limite notevole di riferimento dobbiamo operare un cambio di variabile ponendo 3x = t e da questo cambio si vede anche che quando x tende a zero anche t tende a zero per cui il limite diventa:
