Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

L'equazione di una retta nello spazio

Nello spazio se due piani non sono paralleli si intersecano lungo una retta e il sistema formato dalle equazioni dei due piani rappresenta l’equazione della retta intersezione. Pertanto, l'equazione generale di una retta r nello spazio è data dal sistema di due equazioni che rappresentano due piani non paralleli (ricordiamo che due piani non sono paralleli se nelle due equazioni che li rappresentano i coefficienti delle variabili corrispondenti non hanno lo stesso rapporto):

Ad esempio, i due piani aventi per equazioni:

4x - y + z + 1 = 0     x - 4y + z - 3 = 0

non sono paralleli e quindi si intersecano lungo una retta r che ha per equazione:

Come si vede in figura:

Poichè nello spazio ci sono infiniti piani che hanno per intersezione una retta r, il sistema che individua la retta r non è unico.

E l'insieme degli infiniti piani che si intersecano lungo la retta r è detto fascio di piani di sostegno la retta r. L'equazione di questo fascio di piani si ottiene come combinazione lineare delle equazioni dei due piani. In generale,

data la retta r definita dal sistema

l'equazione del fascio di piani di sostegno la retta r è:

ax + by + cz + d + k(a'x + b'y + c'z + d' = 0

dove k è un numero reale. Ad esempio, considerando il sistema di equazioni della retta precedente si ha:

4x . y + z + 1 + k(x - 4y + z - 3) = 0

E ponendo k = ! si ottiene un altro piano del fascio che contiene la retta r:

5x . 5y + 2z - 2 = 0

Come si vede in figura:

Se nel sistema di equazioni della retta si esplicitano due variabili in funzione della terza, le due equazioni prendono il nome di equazioni ridotte. Se consideriamo l'esempio precedente e esplicitiamo le variabili x e y in funzione di z otteniamo l'equazione ridotta della retta r:

In generale le equazioni ridotte di una retta sono:

Anche nello spazio per due punti passa una sola retta. Ad esempio per i punti A(x₁,y₁,z₁) e B(x₂,y₂,z₂) l'equazione della retta passante per A e B è:

Cioè

Ad esempio la retta passante per i punti A(-3,-2,-1) e B(1,2,3) ha per equazione:

Ed ecco la sua rappresentazione nel sistema cartesiano nello spazio: