Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Distanza tra due punti nello spazio

Consideriamo due punti A(x₁, y₁, z₁) e B(x₂, y₂, z₂) dello spazio e determiniamo la loro distanza, cioè la lunghezza del segmento AB. Consideriamo quattro casi:

• Il segmento AB è parallelo all'asse x.

  Un qualsiasi segmento AB parallelo all'asse x ha una particolare proprietà: tutti i suoi punti (estremi compresi) hanno ascisse diverse ma ordinate e quote uguali e le proiezioni di tutti i suoi punti sul piano coordinato xy determinano un segmento A'B' che conserva sia la lunghezza di AB sia il parallelismo rispetto all'asse x.

  

  Essendo A'B' un segmento del piano xy possiamo determinare la sua lunghezza con la stessa formula utilizzata nel piano:

  
• Il segmento AB è parallelo all'asse y.

  Con lo stesso ragionamento di prima possiamo considerare il segmento A'B' proiezione di AB sul piano yz e determinare la sua lunghezza con la formula:

  
• Il segmento AB è parallelo all'asse z.

  Possiamo considerare il segmento A'B' proiezione di AB sul piano xz e determinare la sua lunghezza con la formula:

  
• Il segmento AB non è parallelo a ciascuno dei tre assi coordinati.

  Se il segmento AB non è parallelo a nessuno dei tre assi coordinati possiamo costruire il parallelepipedo rettangolo tracciando i piani passanti per A e per B paralleli ai piani coordinati.

  

  In questo modo il segmento AB risulta essere la diagonale di un parallelepipedo rettangolo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati e con le tre dimensioni che misurano rispettivamente:

  

  E la lunghezza della diagonale di tale parallelepipedo è data dalla formula:

  

Questa formula è generale perchè vale anche nei casi in cui il segmento AB è parallelo ad uno degli assi coordinati. Inoltre, come si può notare, questa formula è una estensione dell'analoga formula per determinare la lunghezza di un segmento nel piano.

Vediamo due esempi.

• Determiniamo la lunghezza del segmento che ha per estremi A(1,-1,0) e B(0,1,2).

  applicando la formula si otiene:

  
• Determiniamo la distanza di un punto P(1,-2.3) dall'origine O.

  Essendo le coordinate dell'origine tutte nulle O(0, 0, 0) la formula diventa:

  

  E quindi: