Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Piano passante per tre punti non allineati

Dalla geometria euclidea sappiamo che per tre punti non allineati passa un unico piano, vediamo allora come possiamo determinare l'equazione di un piano nello spazio riferito a un sistema di riferimento cartesiano ortogonale dati le coordinate di tre punti non allineati.

Ad esempio, determiniamo l'equazione del piano dello spazio passante per i tre punti non allineati

A(0, -2, 0), B(0, 1, -2), C(1, 0, 3)

Osservando la disposizione dei punti nello spazio cartesiano

possiamo verificare che il piano che contiene i tre punti dati non passa per l'origine e ciò vuol dire che d ≠ 0 e l'equazione generale del piano è del tipo

ax + by + cz + d = 0

che contiene quattro parametri (a, b, c, d). Possiamo ridurre a tre i parametri dividendo i due membri dell'equazione per d e ciò è possibile essendo d diverso da zero.

Ponendo le condizioni

si ottiene

che è un'equazione lineare con solo tre parametri che possiamo determinare imponendo che i punti A, B, C appartengono al piano di equazione px+qy+rz+1=0.

da cui si ottiene

e sostituendo nell'equazione px+qy+rz+1=0 si ha

per cui l'equazione del piano passante per i tre punti dati è