Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Distanza di un punto da un piano

Sia P₀ un punto nello spazio e Π un piano e vediamo come si calcola la distanza tra P₀ e Π. Consideriamo la retta passante per P₀ e perpendicolare al piano Π. Tale retta intersecherà il piano nel punto H che rappresenta la proiezione ortogonale di P₀ sul piano Π come si vede in figura.

Si intuisce che, per trovare la distanza di P₀ dal piano Π, occorre:

1. trovare la retta r passante per P₀ e ortogonale al piano Π

2. determinare le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π

3. calcolare la distanza di P₀ da H.

Ad esempio:

determiniamo la distanza del punto P((1,-2,-1) dal piano x+2y-3z-1=0.

1. Troviamo la retta r passante per P e ortogonale al piano.
   
   Le equazioni parametriche della retta r si determinano tenendo presente che deve passare per P(1,-2,-1) e ha per vettore direzione v(1,2,-3). Ricordiamo che le componenti scalari del vettore direzione sono i coefficiente delle incognite del piano Π.

   

2. Determinare le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π.
   
   Per determinare le coordinate di H bisogna: sostituire le incognite del piano con le equazioni parametriche della retta r in modo da determinare il parametro t.

   

   E inserire nelle equazioni parametriche della retta r il valore trovato di t

   

3. Calcolare la distanza di P₀ da H.
   
   Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene:

   

Esiste, una formula esplicita per il calcolo della distanza di un punto da un piano, che è una estensione della formula per calcolare la distanza di un punto da una retta nel piano cartesiano.

Dato il piano di equazione Π : ax + by + cz + d = 0 e il punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) si ha:

Verifichiamo il nostro esempio con questa formula.