Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Distanza di un punto da un piano

Sia P₀ un punto nello spazio e Π un piano e vediamo come si calcola la distanza tra P₀ e Π. Bisogna considerare la retta r passante per P₀ e perpendicolare al piano Π. La retta r intersecherà il piano nel punto H e la lunghezza del segmento P₀H rappresenta la distanza tra il punto P₀ e il piano Π come si vede in figura.

Pertanto, per trovare la distanza di P₀ dal piano Π, occorre:

1. determinare le equazioni parametriche della retta r passante per P₀ e ortogonale al piano Π
2. determinare le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π
3. determinare la lunghezza del segmento P₀H.

Ad esempio: determiniamo la distanza del punto P(1,-2,-1) dal piano x+2y-3z-1=0.

1. Determiniamo le equazioni parametriche della retta r passante per P e ortogonale al piano x+2y-3z-1=0.

   Le equazioni parametriche della retta r si determinano tenendo presente che deve passare per P(1,-2,-1) e ha per vettore direzione v(1,2,-3). Ricordiamo che le componenti scalari del vettore direzione sono i coefficiente delle incognite del piano Π.

   
2. Determiniamo le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π.

   Per determinare le coordinate di H bisogna: sostituire nell'equazione del piano le incognite x, y e z con quelle fornite dall'equazione parametrica della retta r e determinare il parametro t.

   

   Sostituendo nelle equazioni parametiche della retta r il valore trovato di t si ottengono le coordinate di H.

   
3. Determinare la lunghezza del segmento P₀H.

   Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene:

   

Esiste, una formula esplicita per il calcolo della distanza di un punto da un piano, che è una estensione della formula per calcolare la distanza di un punto da una retta nel piano cartesiano.

Dato il piano di equazione Π : ax + by + cz + d = 0 e il punto P₀ = (x₀, y₀, z₀) si ha:

Utilizziamo questa formula per verificare il risultato del nostro esempio.