Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Distanza di un punto da una retta

Sia P₀ un punto nello spazio e r una retta nello spazio e vediamo come si calcola la distanza tra P₀ e r. Consideriamo il piano Π passante per P₀ e perpendicolare alla retta r. Tale piano intersecherà la retta r nel punto H che rappresenta la proiezione ortogonale di P₀ sulla retta r come si vede in figura.

Si intuisce che, per trovare la distanza di P₀ dalla retta r, occorre:

1. trovare l'equazione del piano Π passante per P₀ e ortogonale alla retta r;

2. determinare le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π

3. calcolare la distanza di P₀ da H.

Ad esempio:

determiniamo la distanza del punto P((-2,-1,3) dalla retta r di equazioni parimetriche:

1. Troviamo l'equazione del piano Π passante per P e ortogonale alla retta r.
   
   La retta r ha per vettore direzione v(0,6,-1) e il piano passante per P e perpendicolare a r deve avere come vettore normale un vettore w perpendicolare a v e il loro prodotto scalare deve essere nullo. Possiamo allora scrivere:

   0 ⋅ (x+2) + 6 ⋅ (y+1) - 1 ⋅ (z-3) = 0

   Cioè

   6y -z + 9 = 0

   che rappresenta l'equazione del piano Π.

2. Determinare le coordinate del punto d'intersezione H tra la retta r e il piano Π.
   
   Per determinare le coordinate di H bisogna: sostituire le incognite del piano con le equazioni parametriche della retta r in modo da determinare il parametro t.

   6 ⋅ (-3 + 6t) - 1 ⋅ (2-t) + 9 = 0

   Cioè:

   t = 11/37

   E inserendo il valore di t nelle equazioni parametriche della retta r si ottengono le coordinate di H che sono:

   H(1;-1,2;1,7)

3. Calcolare la distanza di P₀ da H.
   
   Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene: