Indice
Introduzione alla geometria analitica dello spazio
Punti simmetrici rispetto agli assi e rispetto all'origine
Punti simmetrici rispetto ai piani coordinati
Distanza tra due punti nello spazio
Punto medio di un segmento
Equazione generale del piano
Piano passante per tre punti non allineati
Piani paralleli
Piani secanti e piani perpendicolari
L'equazione di una retta nello spazio
Vettori nello spazio
Vettori e oggetti geometrici nello spazio
Distanza di un punto da un piano
Distanza di un punto da una retta
L'equazione di una superficie sferica
Equazione generale del piano
Per determinare l'equazione generale del piano si può utilizzare il teorema che afferma che data una retta r e un punto P che non appartiene a r esiste un unico piano α passante per P e perpendicolare a r. Consideriamo quindi una retta r passante per l'origine, un punto P(x, y, z) che non appartiene a r e il piano α passante per P e perpendicolare a r nel punto A(a, b, c).
Ora, OA è perpendicolare sia al piano α sia al segmento AP e il triangolo OAP è rettangolo pertanto possiamo scrivere:
OP2 = OA2 + AP2
Cioè
Sviluppando si ha
E ponendo
d=-(a2 + b2 + c2)
Si ottiene l'equazione del piano α
ax + by + cz + d = 0
Si può dimostrare che, in generale, un'equazione lineare del tipo
ax + by + cz + d = 0
con a, b, c non tutti nulli rappresenta un piano e viceversa.
Piani particolari:
d = 0
L'equazione del piano diventa ax + by + cz = 0 e rappresenta un piano passante per l'origine.a = 0
L'equazione del piano diventa by + cz + d = 0 e rappresenta un piano parallelo all'asse x.b = 0
L'equazione del piano diventa ax + cz + d = 0 e rappresenta un piano parallelo all'asse y.c = 0
L'equazione del piano diventa ax + by + d = 0 e rappresenta un piano parallelo all'asse z.a = b = 0
L'equazione del piano diventa cz + d = 0 e rappresenta un piano parallelo al piano xy.a = c = 0
L'equazione del piano diventa by + d = 0 e rappresenta un piano parallelo al piano xz.b = c = 0
L'equazione del piano diventa ax + d = 0 e rappresenta un piano parallelo al piano yz.a = b = d = 0
L'equazione del piano diventa cz = 0 e rappresenta il piano coordinato xy.a = c = d = 0
L'equazione del piano diventa by = 0 e rappresenta il piano coordinato xz.b = c = d = 0
L'equazione del piano diventa ax = 0 e rappresenta il piano coordinato yz.
