Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Vettori e oggetti geometrici nello spazio

Vediamo con l'ausilio dei vettori e delle loro proprietà come sia possibile determinare le relazioni fra gli oggetti geometrici nello spazio.

• Equazione di un piano nello spazio.

  Un piano è univocamente determinato se si conoscono un suo punto P(x₀, y₀, z₀) e un vettore v(a,b,c) ad esso perpendicolare, un tale vettore è detto vettore normale al piano. Ora, un generico punto P(x.y.z) appartiene al piano se e solo se il vettore P₀P è ortogonale al vettore normale.

  

  Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono perpendicolari fra loro se il loro prodotto scalare è nullo. Possiamo quindi scrivere:

  

  Cioè:

  

  Osservazione: nell'equazione del piano le componenti del vettore (a, b, c) sono i coefficienti delle incognite. Vediamo due esempi:

  1. Determiniamo l'equazione del piano passante per il punto P(1,-2,1) e di vettore normale v(2,3,1).

     Applicando la formula si ha:

     2(x-1) + 3(y+2) + 1(z-1) = 0

     Sviluppando si ottiene:

     2x + 3y + z + 3 = 0

  2. Determiniamo il vettore normale al piano: 2x - 3y + z + 4 = 0

     
     Le componenti scalari del vettore normale al piano dato sono i coefficienti delle incognite dell'equazione del piano e quindi possiamo scrivere v(2,-3,1)
• Posizione reciproca tra due piani: piani paralleli.

  Due piani sono paralleli se e solo se sono paralleli i corrispondenti vettori normali. Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono fra loro paralleli se i corrispondenti componenti scalari hanno lo stesso rapporto. Pertanto, i due piani di equazioni:

  ax + by + cz + d = 0     a'x + b'y + c'y + d' = 0

  sono paralleli se lo sono i due vettori normali v(a, b, c) e w(a',b',c') e ciò si verifica se:

  a = ka', b = kb', c = kc'

  Vediamo due esempi:

  1. Verifichiamo se sono paralleli i piani:

     x-2y+4z+1=0 e 3x-6y+12z-3=0.

     Essendo il rapporto costante e uguale a 1/3 fra i corrispondenti coefficienti i due piani sono fra loro paralleli.

  2. Determiniamo il piano parallelo al piano x-3y+2z+1=0 e passante per il punto P(2,1,3).

     Il piano da determinare appartiene al fascio improprio di equazione x−3y+2z+k=0. Imponendo il passaggio per il punto P otteniamo:

     2 ⋅ 1 + 1 ⋅ (-3) + 3 ⋅ 2 + k = 0

     Risolvendo si ha: k=-5 e quindi il piano cercato è:

     x - 3y + 2z - 5 = 0

• Posizione reciproca tra due piani: piani perpendicolari.

  Due piani sono perpendicolari se e solo se sono perpendicolari i corrispondenti vettori normali. Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono fra loro perpendicolari se la somma tra i prodotti dei corrispondenti componeneti scalari è nulla. Pertanto, i due piani di equazioni:

  ax + by + cz + d = 0     a'x + b'y + c'y + d' = 0

  sono perpendicolari se lo sono i due vettori normali v(a, b, c) e w(a',b',c') e ciò si verifica se:

  aa' + bb' + cc' = 0

  Vediamo un esempio:

  1. Verifichiamo se sono perprndicolari i piani: 3x+y-z=0 e x+2y+5z=0.

     Calcoliamo la somma dei prodotti dei corrispondenti coefficienti d incognite:

     3⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + (-1) ⋅ 5 = 0

     Essendo la somma uguale a zero i due piani sono fra loro perpendicolari.

• Equazione di una retta nello spazio.

  Una retta r nello spazio è univocamente determinato se si conoscono un suo punto P₀(x₀, y₀, z₀) e un vettore v(a,b,c) parallelo alla retta r. Il vettore parallelo alla retta r è chiamato vettore direzione della retta. Un generico punto P(x,y,z) appartiene alla retta r se e solo se il vettore che unisce i punti P e P₀ è parallelo al vettore v. Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono paralleli se un vettore è un multiplo dell'altro vettore:

  

  dove t è un numero reale. E passando alle componenti si ha:

  

  Cioè:

  

  Queste ultime equazioni sono dette equazioni parametriche della retta. Se i numeri a, b, c non sono nulli possiamo eliminare il parametro t e scrivere l'equazione cartesiana della retta:

  

  Vediamo alcuni esempi.

  1. Determiniamo l'equazione della retta passante per il punto P(5,-6.-1) e parallela al vettore V(1,3,-2).

     Apllicando la formula si ottiene:

     
  2. Verifica che il punto P(2,3,5) appartiene alla retta:

     Sostituiamo le coordinate del punto nell'equazione della retta: tutte e tre le equazioni devono essere soddisfatte.

     

     Il punto appartiene alla retta.

  3. Determiniamo le equazioni parametriche della retta passante per i due punti A(-2,4,1) e B(1,3,5).

     Individuiamo il vettore direzione che ha per estremi i due punti A e B.

     (1-(-2), 3-4, 5-1)

     Quindi le componenti scalari del vettore sono:

     (3, -1, 4)

     Ora, possiamo determinare le equazioni della retta conoscendo uno dei due punti A (o B) che appartengono alla retta e il vettore direzione:

     

     Ecco la rappresentazione nello spazio.

     
• Condizione di parallelismo e di perpendicolarità fra due rette.

  Due rette r e s nello spazio sono parallele se e solo se lo sono i corrispondenti vettori direzione. Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono fra loro paralleli se i corrispondenti componeneti scalari hanno lo stesso rapporto. Pertanto, se i due vettori direzione sono v(a,b,c) e w(a',b',c') le due rette sono parallele se:

  a = ka', b = kb', c = kc'

  Due rette r e s nello spazio sono perpendicolari se e solo se lo sono i corrispondenti vettori direzione. Dalle proprietà dei vettori sappiamo che due vettori sono fra loro perpendicolari se il loro prodotto scalare è nullo. Pertanto, se i due vettori direzione sono v(a,b,c) e w(a',b',c') le due rette sono pependicolari se:

  aa' + bb' + cc' = 0

  Vediamo un esempio.

  1. Le due rette:

     sono parallele o perpendicolari?

     I vettori direzione delle due rette sono V(-1,2,-3) e w(-2,4,-6). Essendo v=2w i due vettori direzione delle rette sono paralleli e quindi anche le rette sono parallele.