Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Vettori nello spazio

E' utile introdurre le proprietà dei vettori nello spazio perchè ci consentiranno di semplificare lo studio di rette e piani in uno spazio cartesiano ortogonale.

Un vettore indica uno spostamento e quindi è caratterizzato da tre elementi: direzione, verso e intensità (chiamata anche modulo). Di solito un vettore viene indicato con una lettera minuscola a cui viene sovrapposto una freccia e rappresentato graficamente con un segmento orientato, la direzione è quella della retta che contiene il segmento, il verso è quello indicato dalla freccia che indica il senso di percorrenza della retta e l'intensità è data dalla lunghezza del segmento.

Due vettori sono uguali se hanno la stessa lunghezza, la stessa direzione e lo stesso verso. Pertanto sia nel piano cartesiano sia nello spazio cartesiano dato un qualsiasi vettore, potremo sempre considerarne uno uguale e applicato all'origine. Un vettore applicato all'origine può essere individuato tramite le sue componenti lungo le direzioni del sistema di riferimento: nel piano un vettore può essere scomposto in due componenti cioè in due vettori che hanno per direzione e verso rispettivamente l'asse x e l'asse y. In questo caso il vettore è uguale alla somma delle componenti cartesiane.

Nello spazio un vettore può essere scomposto in tre vettori che hanno per direzione e verso rispettivamente l'asse x, l'asse y e l'asse z.

Dalla rappresentazione di un vettore mediante le componenti cartesiane ne segue che ad ogni punto P del piano cartesiano o dello spazio cartesiano possiamo associare un vettore che ha per estremi l'origine O e il punto P stesso. In questo modo possiamo individuare il vettore, nel piano con la coppia ordinata (x, y) del punto P e scrivere v(x, y) e nello spazio con la terna ordinata (x, y, z) del punto P e scrivere v(x, y, z) dove x, y, z essendo dei numeri reali sono le componenti scalari del vettore.

Al punto P nell'origine possiamo associare nel piano il vettore v(0, 0) e nello spazio il vettore v(0, 0, 0) in entrambi i casi si dice che il vettore è nullo. La lunghezza del segmento OP rappresenta il modulo del vettore pertanto possiamo scrivere:

Vediamo ora le principali operazioni che possiamo eseguire con i vettori in un riferimento cartesiano:

• Somma di due vettori.

  Nel piano:

  La somma di due vettori v(x₁, y₁), w(x₂, y₂) si determina con la regola del parallelogramma.

  

  Ed è uguale a un vettore avente per componenti la somma delle componenti dei due vettori

  v(x₁, y₁) + w(x₂, y₂) = t(x₁ + x₂, y₁ + y₂)

  Nello spazio:

  Per analogia la somma di due vettori è uguale a un vettore avente per componenti la somma delle componenti dei due vettori

  v(x₁, y₁, z₁ ) + w(x₂, y₂, z₂) = t(x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)

• Prodotto di un vettore per un numero reale.

  Nel piano:

  Il prodotto di un vettore v(x, y) per un numero reale k è il vettore k⋅v che ha per componenti quelle del vettore v moltiplicate per k.

  k⋅v(k⋅x, k⋅y)

  Ad esempio, il prodotto v(x₁, y₁) ⋅ 2 = 2v(2⋅x₁, 2⋅y₁)

  

  In particolare due vettori sono paralleli se giacciono sulla stessa retta o su rette parallele e ciò si verifica se è possibile ottenere l'uno moltiplicando l'altro per un numero reale k diverso da zero:

  Nello spazio:

  Per analogia il prodotto di un vettore v(x, y, z) per un numero reale k è uguale a:

  k⋅v(k⋅x, k⋅y, k⋅y)

  E naturalmente, anche nello spazio, due vettori non nulli sono paralleli se e solo se esiste un numero reale k tale che:

  Questa condizione, può essere tradotta nella forma:

  se x₂, y₂, z₂ sono diversi da zero. In altre parole, due vettori sono fra loro paralleli se i corrispondenti componenti scalari hanno lo stesso rapporto.

• Prodotto di un vettore per -1.

  Nel piano:

  Il prodotto di un vettore v(x, y) per -1 è il vettore opposto -v(-x, -y) che ha stessa direzione e stesso modulo di v ma verso opposto.

  

  Nello spazio:

  Per analogia il prodotto di un vettore v(x, y, z) per -1 è uguale a:

  -v(-x, -y, -z)

• Differenza di due vettori.

  Nel piano:

  La differenza tra due vettori v - w può essere considerata come la somma tra il vettore v con l'opposto del vettore w cioè:

  v - w = v + (-w)

  E se consideriamo le componenti si ha:

  v(x₁, y₁) + [-w(-x₂, -y₂)] = t(x₁ - x₂, y₁ - y₂)

  Nello spazio:

  Per analogia la differenza v - w è uguale a:

  v(x₁, y₁, z₁ ) - w(-x₂, -y₂, -z₂) = t(x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)

• Prodotto scalare tra due vettori.

  Nel piano:

  Il prodotto scalare tra due vettori v(x₁, y₁), w(x₂, y₂) è un numero scalare cioè un numero reale ed è uguale alla somma dei prodotti delle componenti dei due vettori.

  

  Da questa formula con alcuni passaggi trigonometrici si può dimostrare che il prodotto scalare tra due vettori è uguale al prodotto dei moduli dei vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori.

  

  Vediamo questi passaggi: le componenti di un vettore possono essere espresse mediante il modulo del vettore e l'angolo che il vettore forma con l'asse x.

  

  Pertanto se v e w sono i due vettori, α l'angolo compreso tra v e w, β l'angolo tra v e l'asse x, γ l'angolo tra w e l'asse x

  

  Possiamo allora scrivere:

  

  Come si intuisce da questa formula il prodotto scalare tra due vettori, se nessuno dei due è nullo, può essere:

  

  Nello spazio:

  Per analogia il prodotto scalare tra due vettori è uguale a un numero reale che si ottiene dalla formula

  

  Oppure dalla formula:

  

  Da ciò si deduce che nello spazio due vettori non nulli, sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero e ciò si verifica se: