Cosa devi sapere sulla geometria analitica dello spazio

Piani paralleli

Consideriamo due piani aventi per equazione:

x - 2y + 3z - 1 = 0     2x - 4y + 6z - 2 = 0

Come si può facilmente osservare i coefficienti delle incognite e il termine noto della seconda equazione sono tutti il doppio dei corrispondenti coefficienti e del termine noto della prima equazione e da un punto di vista algebrico le due equazioni sono equivalenti perchè si passa dalla prima equazione alla seconda equazione moltiplicando tutti i termini per due. Il sistema costituito dalle due equazioni:

E' verificato da ogni terna ordinata (x,y,z) che soddisfa la prima o la seconda equazione. Da un punto di vista geometrico ciò significa che le due equazioni rappresentano lo stesso piano. Possiamo anche dire che i due piani sono paralleli e coincidenti come si vede in figura.

In generale, due piani aventi equazioni rispettivamente:

ax + by + cz + d = 0     a'x + b'y + c'z + d' = 0

con a', b', c', d' diverso da zero sono coincidenti se:

con k numero reale.

Consideriamo due piani aventi per equazione:

x - 2y + 3z - 1 = 0     2x - 4y + 6z - 6 = 0

In questo caso le equazioni dei due piani hanno solo i coefficienti delle variabili corrispondenti in proporzione e da un punto di vista algebrico le due equazioni non sono equivalenti e il sistema costituito dalle due equazioni è impossibile cioè non ammette soluzioni. Da un punto di vista geometrico ciò significa che le due equazioni rappresentano due piani paralleli come si vede in figura.

In generale, due piani aventi equazioni rispettivamente:

ax + by + cz + d = 0     a'x + b'y + c'z + d' = 0

con a', b', c' diverso da zero sono paralleli se:

con k numero reale.