Cosa si deve sapere sui radicali

Proprietà invariantiva dei radicali

Due radicali sono detti equivalenti se rappresentano lo stesso numero reale; ad esempio i due radicali:

sono equivalenti perchè entrambi rappresentano il numero 3.

Possiamo ottenere radicali equivalenti applicando la proprietà invariantiva dei radicali:

Proprietà invariantiva:

Se il radicando è un numero reale non negativo possiamo ottenere un radicale equivalente moltiplicando per uno stesso numero naturale non nullo sia l'indice del radicale sia l'esponente del radicando. In simboli:

Ad esempio:

Attenzione, nell'applicare la proprietà invariantiva è necessario che il radicando sia un numero non negativo altrimenti la proprietà viene a cadere. Ad esempio applicando la proprietà invariantiva a un radicale con un radicando negativo

otteniamo due radicali non equivalenti. Se però il radicando è negativo e l'indice del radicale è dispari possiamo trasformare il radicale iniziale in un radicale ad esso equivalente ma con il radicando positivo trasportando il segno meno fuori dalla radice; ad esempio

e poi applicare la proprità invariantiva.

La proprietà invariantiva può essere letta da sinistra verso destra e viceversa da destra verso sinistra:

Cioè:

Se il radicando è un numero reale non negativo possiamo ottenere un radicale equivalente dividendo l'indice del radicale e l'esponente del radicando per un divisore comune.

Ad esempio:

La proprietà invariantiva può essere utile per semplificare un radicale e quindi ridurre il radicale a una forma equivalente più semplice. Quando si esegue la semplificazione di un radicale con indice pari bisogna però verificare se il radicale iniziale e quello semplificato siano effettivamente equivalenti. Ad esempio, consideriamo il radicale:

Il radicando (−3)⁶ è sicuramente un numero positivo inoltre l'indice del radicale e l'esponente del radicando hanno un divisore comune il 2 e quindi possiamo dividerli per 2. Siamo quindi indotti erroneamente a scrivere:

Questa scrittura, però, non è equivalente al radicale iniziale anzi per definizione non è neppure un radicale perchè (−3)³ è un numero negativo e l'indice del radicale è pari. Come si può correggere l'errore? Essendo pari l'esponente del radicando possiamo considerare −3 in valore assoluto e quindi scrivere correttamente:

In generale per la semplificazione di un radicale è utile applicare la regola pratica:

Vediamo alcuni esempi di semplificazione.

• Esempio 1: Semplifichiamo

  Portando il segno meno fuori radice e applicando la proprietà invariantiva si ha:

  

  E' stata applicata la proprietà invariantiva perchè a² è certamente un numero non negativo.

• Esempio 2: Semplifichiamo

  Qui potremmo applicare la proprietà invariantiva se a≥0 ma non se a<0. Allora è preferibile procedere cosí

  

  In questo modo c'è concordanza di segno tra primo e secondo membro (sono entrambi sempre non negativi) mentre sarebbe stato un errore scrivere:

  

Un radicale è detto irriducibile se il suo indice e l'esponente del radicando sono primi fra loro. Ad esempio il radicale:

è irriducibile perchè indice ed esponente sono primi fra loro.