Cosa si deve sapere sui radicali

Radici quadrate

Esaminiamo tre tipi di problemi:

1. La superficie di un quadrato misura 64 cm²; qual è la misura del suo lato?

2. Qual è quel numero che elevato alla seconda dà 64?

3. Qual è quel numero che elevato alla seconda dà -64?

Primo problema.

Se indichiamo con x la misura del lato del quadrato e con A la misura della superficie possiamo utilizzare la formula:

x² = A     cioè     x² = 64

E la soluzione è quel numero reale non negativo il cui quadrato è 64. Il numero 8 elevato al quadrato dà proprio 64.

8² = 64

E quindi rappresenta la soluzione del problema. Si dice anche che 8 rappresenta la radice quadrata di 64 e si scrive:

La radice quadrata è quindi l'operazione inversa della potenza con esponente 2.

Secondo problema.

Se indichiamo con x il numero che vogliamo trovare possiamo scrivere:

x² = 64

E la soluzione è quel numero reale il cui quadrato è 64. In questo caso operando in tutto l'insieme dei numeri reali esistono due soluzioni:

+8     e     −8

infatti:

8² = 64     e     (−8)² = 64

In simboli si scrive:

Terzo problema.

Se indichiamo con x il numero che vogliamo trovare possiamo scrivere:

x² = -64

E la soluzione è quel numero reale il cui quadrato è -64. In questo caso operando nell'insieme dei numeri reali non esiste nessun numero che elevato alla seconda dia un numero negativo. Pertanto questo problema non ha soluzioni; possiamo anche dire che non esiste la radice quadrata di un numero reale negativo.

Come si vede i tre problemi possono essere risolti con la stessa equazione:

x² = a

ma i risultati sono diversi perchè è diverso l'insieme dei numeri su cui si opera.

• Se si opera nell'insieme dei numeri reali non negativi ogni numero reale positivo o nullo ha esattamente una sola radice quadrata.

  In simboli:

  
• Se si opera nell'insieme dei numeri reali:
  • ogni numero reale positivo ha esattamente due radice quadrata.
  • ogni numero reale negativo non ammette radice quadrata.
  • il numero zero ha per radice quadrata zero.

    In simboli

    

Nell'insieme dei numeri reali non negativi l'operazione di radice quadrata è sempre possibile e la soluzione è unica.

Nell'insieme dei numeri reali l'operazione di radice quadrata non sempre è possibile oppure può avere una o due soluzioni e ciò dipende se il numero è negativo (non esiste la radice quadrata di un numero negativo, poichè non esiste nessun numero che elevato al quadrato possa dare come risultato un numero negativo.), nullo o positivo. Le stesse considerazioni fatte sulla radice quadrata di un numero reale non negativo o di un numero reale possono essere estese alla radice quarta, sesta, ottava, …