Potenze con esponente frazionario

L'estrazione di radice e l'elevamento a potenza sono due operazioni strettamente legate tra loro e questo legame permette di estendere il concetto di potenza al caso in cui l'esponente è un numero razionale.
Ad esempio, consideriamo la potenza

e una delle proprietà fondamentali delle potenze

(aⁿ)^m = a^mn

dove n ed m sono numeri interi. Possiamo scrivere

e quindi si può definire

come quel numero reale il cui cubo è 2, e come sappiamo questo numero è il radicale

Possiamo allora porre l'uguaglianza

Applicando lo stesso ragionamento possiamo trasformare la potenza ad esponente razionale

nel corrispondente radicale

In generale:

La potenza di un numero reale a non negativo avente per esponente un numero razionale m/n (m e n numeri naturali con n≠0) è equivalente al radicale che ha per indice il denominatore del numero razionale e per radicando la potenza del numero avente per esponente il numeratore del numero razionale.

Per l'uguaglianza vale la proprietà simmetrica e quindi possiamo dire:

Un radicale che ha per radicacando una potenza con base non negativa è equivalente a una potenza che ha per base la stessa base del radicando e per esponente una frazione che ha per denominatore l'indice del radicale e per numeratore l'esponente del radicando

Consideriamo il caso in cui la potenza ha per base un numero reale maggiore di zero e per esponente un numero razionale negativo.

In questo caso possiamo scrivere

Nella definizione di potenza a esponente razionale si è supposto che la base non sia negativa e ciò è necessario per evitare sia scritture prive di significato sia scritture non univocamente determinate. Ad esempio

• Se a=-6 la scrittura

  

  è priva di significato (non esiste la radice quadrata di un numero negativo)

• Se a=-8 la scrittura

  

  genera un'ambiguità. Se non riduciamo la frazione avremmo

  

  Mentre riducendo l'esponente ai minimi termini si ha

  

  E i due risultati sono diversi.

Per le potenze ad esponente razionale valgono le stesse proprietà che abbiamo già esaminato per le potenze ad esponente intero. In particolare: