Cosa si deve sapere sui radicali

Radici n-esime

La generalizzazione di radice quadrata e di radice cubica è la radice n-esima cioè l'operazione inversa della potenza con esponente n che viene espressa con la scrittura:

Quando si esegue un'operazione tra due numeri reali occorre che il risultato dell'operazione sia priva di ambiguità e ciò si ottiene solo se l'operazione associa a una coppia di numeri uno e un solo numero. Per evitare le possibili ambiguità sull'operazione di estrazione di radice n-esima diamo la seguente definizione di radice n-esima di un numero reale:

Sia a un numero reale e n un numero naturale non nullo:

• se a ≥ 0, la radice n-esima di a è il numero reale b ≥ 0 la cui potenza con esponente n è uguale ad a;

• se a < 0 e n è dispari, la radice n-esima di a è il numero reale b < 0 la cui potenza con esponente n è uguale ad a;

• se a < 0 e n è pari, non esiste la radice n-esima di a.

Il simbolo:

è detto radicale, il numero a è detto radicando o argomento del radicale e il numero n è detto indice del radicale.

Ebbene ricordare che quando si applica l'operazione di radice con l'indice n pari il radicando deve essere un numero reale non negativo. Pertanto quando il radicando è un'espressione letterale bisogna determinare per quali valori delle variabili il radicando è maggiore o uguale a zero. Questa verifica è detta condizione di esistenza o di realtà del radicale. Ad esempio determiniamo per quali valori reali di x è definito in R il radicale:

Determiniamo la condizione di esistenza (C.E.) ponendo:

x−3≥0     cioè     x≥3

e x≥3 è la C.E. del radicale.

In generale:

Se n è un numero naturale non nullo, il radicale:

dove A(x) è un polinomio ed è definito:

• per ogni valore di x se A(x) ≥ 0 e n è pari;
• per ogni valore di x, se n è dispari.

Dalla definizione di radice n-esima si deducono due proprietà fondamentali dei radicali.

• Prima Proprietà:

  La potenza n-esima della radice n-esima di un numero reale è il numero reale stesso.

  

  Con a ≥ 0 se n è pari ∀a∈R se n è dispari.

• Seconda Proprietà:

  La radice n-esima della potenza n-esima di un numero reale è:

  • il numero reale stesso se n è dispari;
  • il valore assoluto del numero reale stesso se n è pari.