Indice
Radici quadrate
Radici cubiche
Radici n-esime
Proprietà invariantiva dei radicali
Riduzione di radicali allo stesso indice
La moltiplicazione fra radicali
La divisione fra radicali
Elevamento a potenza e estrazione di radice di radicali
Trasporto fuori e dentro il segno di radice
Somma algebrica di radicali
Razionalizzazioni
Radicali doppi
Potenze con esponente frazionario
Radici n-esime
La generalizzazione di radice quadrata e di radice cubica è la radice n-esima cioè l'operazione inversa della potenza con esponente n che viene espressa con la scrittura
Quando si esegue un'operazione tra due numeri reali occorre che il risultato dell'operazione sia priva di ambiguità e ciò si ottiene solo se l'operazione associa a una coppia di numeri uno e un solo numero. Per evitare le possibili ambiguità sull'operazione di estrazione di radice n-esima diamo la seguente definizione di radice n-esima di un numero reale:
Sia a un numero reale e n un numero naturale non nullo:
se a ≥ 0, la radice n-esima di a è il numero reale b ≥ 0 la cui potenza con esponente n è ugale ad a;
se a < 0 e n è dispari, la radice n-esima di a è il numero reale b < 0 la cui potenza con esponente n è ugale ad a;
se a < 0 e n è pari, non esiste la radice n-esima di a.
Il simbolo
è detto radicale, il numero a è detto radicando o argomento del radicale e il numero n è detto indice del radicale.
Ebbene ricordare che quando si applica l'operazione di radice con l'indice n pari il radicando deve essere un numero reale non negativo. Pertanto quando il radicando è un'espressione letterale bisogna determinare per quali valori delle variabili il radicando è maggiore o uguale a zero. Questa verifica è detta condizione di esistenza o di realtà del radicale. Ad esempio determiniamo per quali valori reali di x è definito in R il radicale
Determiniamo la condizione di esistenza (C.E.) ponendo
x−3≥0 cioè x≥3
e x≥3 è la C.E. del radicale.
In generale:
Se n è un numero naturale non nullo, il radicale
dove A(x) è un polinomio è definito:
per ogni valore di x se A(x) ≥ 0 e n è pari;
per ogni valore di x, se n è dispari.
Dalla definizione di radice n-esima si deducono due proprietà fondamentali dei radicali.
Prima Proprietà:
La potenza n-esima della radice n-esima di un numero reale è il numero reale stesso.
con a ≥ 0 se n è pari ∀a∈R se n è dispari.
Seconda Proprietà:
La radice n-esima della potenza n-esima di un numero reale è il numero reale stesso se n è dispari, è il valore assoluto del numero reale stesso se n è pari.
