Poligoni regolari

Tassellazioni semiregolari

Una tassellazione formata da poligoni regolari ma non tutti dello stesso tipo e quelli dello stesso tipo sono congruenti e in ogni vertice sono presenti gli stessi poligono è detta tassellazioni semiregolare o tassellazioni di Archimede, o tassellazioni omogenee o tassellazioni uniformi. Ecco ad esempio, un pavimento con una tassellazione semiregolare:

In ogni vertice convergono tre poligoni: due ottagoni regolari congruenti e un quadrato, La somma degli angoli che si formano in ogni vertice è:

135° + 135° + 90° = 360°

Quante tassellazioni semiregolari sono possibili?

Consideriamo una situazione locale intorno a un singolo punto del piano. In quel punto del piano i vertici dei poligoni devono combaciare e per non avere parziali sovrapposizioni o buchi la somma degli angoli al vertice dei poligoni che concorrono in quel punto deve essere uguale a 2Π. Supponiamo che in quel punto combaciano i vertici di tre poligoni regolari aventi rispettivamente n₁, n₂ e n₃ lati. Conoscendo la relazione tra le ampiezze degli angoli e dei lati di un poligono regolare possiamo scrivere l'equazione:

Da cui si ottiene:

E le uniche terne intere ammissibili sono:

(3, 7, 42), (3, 8, 24), (3, 9, 18), (3, 10, 15) (3, 12, 12),

(4, 5, 20), (4, 6, 12), (4, 8, 8) (5, 5, 10), (6, 6, 6)

Ad esempio, se consideriamo la prima terna 3, 7, 42 possiamo dire che nel punto del piano considerato combaciano i vertici di un triangolo equilatero, di un ettagono regolare e di un poligono regolare di 42 lati e la somma degli angoli che concorrono in quel punto è uguale a:

60° + 128,57° + 171,43° = 360°

Traducendo queste 10 terne numeriche in terne di poligoni regolari si ottengono le seguenti configurazioni:

Se nel punto combaciano i vertici di quattro poligoni regolari, applicando lo stesso procedimento si ottengono le seguenti quaterne di numeri interi:

(3, 3, 4, 12), (3, 4, 3, 12), (3, 4, 4, 6), (3, 4, 6, 4), (3, 3, 6, 6), (3, 6, 3, 6), (4, 4, 4, 4)

Se nel punto combaciano i vertici di cinque poligoni regolari, applicando lo stesso procedimento si ottengono le seguenti cinquine di numeri interi:

(3, 3, 4, 3, 4), (3, 3, 3, 4, 4), (3, 3, 3, 3, 6)

Infine se combaciano i vertici di sei poligoni regolari si ha la sequente sestina:

(3, 3, 3, 3, 3, 3)

Ci sono quindi, in totale ventuno possibili situazioni locali. Se estendiamo queste situazioni locali a tutto il piano possiamo facilmente verificare che non tutte danno luogo a una tassellazione semiregolare perchè in alcuni casi si hanno delle sovrapposizioni parziali dei poligoni come possiamo vedere nella seguente figura con la combinazione pentagono, pentagono, decagono.

Pertanto le possibili tassellazioni semiregolari del piano (escludendo le tassellazioni regolari) sono in tutto otto:

• In due tassellazioni ci sono due tipi di poligoni: quadrato e triangolo regolare. Nella prima tassellazione in ogni punto si ripete la combinazione 3, 3, 3, 4, 4 e quindi 60°+60°+60°+90°+90°=360°, nella seconda si ripete la combinazione 3, 3, 4. 3. 4 e quindi 60°+60°+90°+60°+90°=360°.

  

• In due tassellazioni ci sono due tipi di poligoni: esagono regolare e triangolo equilatero. Nella prima tassellazione in ogni punto si ripete la combinazione 3, 6, 3, 6 e quindi 60°+120°+60°+120°=360°, nella seconda si ripete la combinazione 3, 3, 3. 3. 6 e quindi 60°+60°+60°+60°+120°=360°.

  

• In una tassellazione ci sono due tipi di poligoni: dodecagono e triangolo equilatero. In ogni punti si ripete la combinazione 3, 12, 12 e quindi 60°+150°+150°=360°.

  

• In una tassellazione ci sono due tipi di poligoni: ottagono regolare e quadrato. In ogni punti si ripete la combinazione 4, 8, 8 e quindi 90°+135°+135°=360°.

  

• In una tassellazione ci sono tre tipi di poligoni: esagono regolare, quadrato e triangolo equilatero. In ogni punti si ripete la combinazione 3, 4, 6, 4 e quindi 60°+90°+120°+90°=360°.

  

• In una tassellazione ci sono tre tipi di poligoni: dodecagono regolare, esagono regolare e quadrato. In ogni punti si ripete la combinazione 4, 6, 12 e quindi 90°+120°+150°+90°=360°.