Poligoni regolari

Poligoni regolari e simmetria diedrale

Quando un poligono torna su se stesso con n ribaltamenti e n rotazioni in senso antiorario (il numero delle riflessioni è sempre uguale al numero delle rotazioni) si dice che questo poligono ha una simmetria diedrale che viene indicata con il simbolo D_n dove n rappresenta il numero dei ribaltamenti e il numero delle rotazioni. Ad esempio, il quadrato ha simmetria diedrale D₄ perchè torna su se stesso con 4 ribaltamenti e 4 rotazioni antiorarie e quindi ci sono in tutto 8 movimenti che portano il quadrato su se stesso. Possiamo naturalmente eseguire due di questi movimenti, uno dopo l'altro. Per vedere il risultato dei due movimenti prendiamo un piccolo foglio quadrato, coloriamo le due facce del nostro quadrato una grigia e l'altra azzurra e poi evidenziamo, su entrambe le facce, un angolino in rosso. Partiamo sempre con la faccia visibile grigia e eseguiamo in successione due movimenti. Se alla fine la faccia visibile è grigia allora il risultato della composizione è una rotazione se invece la faccia visibile è azzurra allora il risultato è un ribaltamento. La posizione finale dell'angolino rosso ci permetterà di capire quale rotazione o quale ribaltamento è il risultato dei due movimenti. Vediamo alcuni esempi:

• Effettuiamo in sequenza prima una rotazione antioraria di 90°, poi una di 180°.

  

  Come si vede abbiamo composto due movimenti e l'effetto finale è quello di una rotazione antioraria di 270°. Possiamo quindi dire che componendo due rotazioni otteniamo ancora una rotazione.

• Effettuiamo in sequenza due ribaltamenti rispetto agli assi r ed s come si vede in figura.

  

  Come si vede possiamo ottenere lo stesso effetto dei due ribaltamenti con una sola rotazione antioraria di 90°. La composizione di due ribaltamenti è dunque una rotazione.

• Effettuiamo in sequenza un ribaltamento rispetto all'asse t in figura e una rotazione antioraria di 270°.

  

  Otteniamo l'effetto di un unico ribaltamento rispetto all'asse s. La composizione di un ribaltamento con una rotazione (o viceversa) è dunque un ribaltamento.

Indichiamo con r₀, r₁, r₂, r₃ rispettivamente le rotazioni antiorarie di 360°, 90°, 180°, 270° e con r, s, t, u i ribaltamenti in figura:

Se rappresentiamo tutte le composizioni di due movimenti di D₄ in una tavola otteniamo il seguente schema:

Il simbolo o viene utilizzato per indicare l'operazione di composizione di due movimenti e la scrittura:

r₂ o r₃ = r₁

Si legge: prima ruotiamo il quadrato in senso antiorario di 270° (cioè r₃), poi lo ruotiamo in senso antiorario di 180° (cioè r₂), il risultato finale è una rotazione antioraria di 90° (cioè r₁). Quest'ordine di esecuzione dell'operazione è il contrario di quello che usualmente utilizziamo per le altre operazioni ma bisogna rispettarlo perchè la composizione di due movimenti non è commutativa. Infatti, nel nostro caso si ha:

t o r₁ = s

r₁ o t = u

Inoltre, bisogna ricordare che nella tavola il primo movimento da eseguire viene indicato nella colonna, il secondo nella riga e il risultato nell'incrocio colonna-riga.

La tavola mette in evidenza che:

• La composizione di due movimenti di D₄ è ancora un movimento di D₄ e quindi, l'insieme degli elementi di D₄ è chiuso rispetto alla composizione dei movimenti (rotazioni e ribaltamenti);

• Il sottoinsieme delle rotazioni è chiuso rispetto alla composizione;

• Il sottoinsieme de ribaltamenti non è chiuso rispetto alla composizione;

• la composizione di due rotazioni è una rotazione;

• la composizione di due ribaltamenti è una rotazione;

• la composizione di una rotazione e un ribaltamento è un ribaltamento:

• la composizione di un ribaltamento e una rotazione è un ribaltamento;

• nella composizione di due movimenti la rotazione r₀ lascia invariata la posizione. Ad esempio si ha:

  r₁ o r₀ = r₀ o r₁ = r₁

  E quindi r₀ si comporta come lo zero nell'addizione e come l'1 nella moltiplicazione e per questo motivo viene detto elemento neutro;

• se al quadrato applichiamo una rotazione (o un ribaltamento) possiamo sempre trovare un'altra rotazione (o un altro ribaltamento) in modo da riportarlo nella sua posizione iniziale. Ad esempio:

  

  E quindi, ogni elemento dell'insieme ha il suo inverso.

In generale:

un poligono regolare di n lati ha simmetria diedrale D_n e valgono le stesse considerazioni fatte sulla composizione dei movimenti visti per il quadrato.