Poligoni regolari

Assi di simmetria nei poligoni regolari

Una retta che divide un poligono in due parti congruenti simmetriche l'una rispetto all'altra tali da potersi sovrapporre perfettamente è detta asse di simmetria del poligono e se un poligono ha un asse di simmetria si dice che è simmetrico rispetto a quella retta. Per sovrapporre le due parti simmetriche di un poligono dobbiamo necessariamente ribaltare una delle due parti del poligono lungo l'asse di simmetria con una rotazione di 180°. Si tratta di un movimento che ci obbliga a uscire temporaneamente dal piano su cui giace il poligono.

Un asse di simmetria di un poligono si comporta come uno specchio nel quale il poligono si riflette. Ciò significa che se poniamo uno specchio verticalmente su un poligono in modo che il bordo dello specchio coincida con l'asse di simmetria del poligono vedremo due immagini quella reale (formata dalla metà del poligono) e quella riflessa (immagine virtuale) dallo specchio, che insieme ricostruiscono l'intero poligono. Ad esempio, se poniamo uno specchio lungo la diagonale di un quadrato vedremo la metà del quadrato insieme all'immagine riflessa ricostruire l'intero poligono.

Per questo motivo l'asse di simmetria viene anche detto asse di riflessione. Se un poligono ha un asse di simmetria ribaltandolo con una rotazione di 180° rispetto all'asse, il poligono ritorna su se stesso, torna cioè ad occupare esattamente la stessa posizione. I vertici a destra dell asse si scambino con quelli a sinistra e naturamente anche tutti i punti del poligono a destra dell'asse si scambiano con quelli a sinistra. Invece, i punti del poligono che si trovano proprio sull'asse di simmetria non si scambiano e quindi sono simmetrici di se stessi e per questo motivo vengono detti punti uniti della simmetria assiale. Il movimento che porta un poligono simmetrico su se stesso con una rotazione di 180° rispetto all'asse di simmetria viene detto ribaltamento.

Come si vede dalla figura la disposizione dei vertici è in senso antiorario nella figura iniziale e in senso orario nella figura ribaltata infatti un ribaltamento inverte la disposizione dei vertici.

Non tutti i poligoni hanno un asse di simmetria e alcuni poligoni hanno più di un asse di simmetria e nell'insieme dei poligoni con lo stesso numero di lati quello regolare ha il maggior numero di assi di simmetria. Quanti assi di simmetria può avere un poligono con n lati? Il numero degli assi di simmetria può essere zero o un divisore di n. Ad esempio un esagono può avere nessun asse di simmetria, un solo asse di simmetria, oppure 2 assi di simmetria, oppure 3 assi, oppure 6 assi di simmetria ma non esistono invece esagoni con 4 o 5 assi di simmetria (perchè nè 4 nè 5 sono divisori di 6).

Si può facilmente scoprire che il triangolo equilatero ha 3 assi di simmetria, il quadrato ha 4 assi di simmetria, il pentagono regolare ha 5 assi di simmetria, l'esagono regolare ha 6 assi di simmetria e naturalmente un poligono regolare di n lati ha esattamente n assi di simmetria.

Gli assi di simmetria del triangolo equilatero o del pentagono regolare (o più in generale di un poligono regolare con un numero dispari di lati) passano per i vertici e per i punti medi dei lati opposti (per questo motivo sono detti assi mediani). Gli assi di simmetria del quadrato o dell'esagono regolare (o più in generale di un poligono regolare con un numero pari di lati) sono di due tipi: gli assi passanti per i vertici opposti detti assi diagonali e quelli passanti per i punti medi di lati opposti (assi mediani). In tutti i poligoni regolari gli assi di simmetria si intersecano in un solo punto O il centro del poligono. Nei poligoni regolari con un numero pari di lati i vertici sono uno simmetrico all'altro rispetto ad O e il poligono ritorna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto ad O. Per questi poligoni regolari il punto O rappresenta il centro di simmetria del poligono e ogni punto A appartenente al poligono ha un corrispondente punto A' appartenente al poligono simmetrico rispetto al punto O. Ad esempio, un quadrato ritorna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto al punto O.

Nei poligoni regolari con un numero dispari di lati il punto O non è un centro di simmetria. Ad esempio, nei triangoli equilateri i vertici non sono simmetrici rispetto al punto O e il poligono non torna su se stesso con una rotazione di 180° rispetto al punto O come si vede in figura.

Da tutto ciò emerge che più regolare è una figura, più assi di simmetria possiede e l'idea di simmetria è sempre stata legata, fin dall'antichità, all'idea di armonia e di regolarità, quindi di bellezza. Nel mondo reale troviamo moltissimi esempi di forme simmetriche come ad esempio un fiore o una foglia o una stella marina.