Poligoni regolari

Problemi di massimo e minimo

Tra tutti i poligono isoperimetrici con n lati qual è quello con l'area massima?

Tra tutti i poligono equivalenti con n lati qual è quello con il perimetro minimo?

Problemi di massimo e minimo di questo tipo sono molto antichi e da sempre hanno suscitato un particolare interesse perchè danno luogo a numerose applicazioni e importanti generalizzazioni. Nel corso del tempo si sono sviluppati molti metodi (geometrici, grafici, infinitesimali) e creati appositi modelli per comprendere e risolvere questi problemi. In questo paragrafo esamineremo alcuni problemi di massimo e minimo risolti con semplici modelli.

• Tra tutti i triangoli isoperimetrici è il triangolo equilatero quello che ha la massima area.
  
  Per ottenere un insieme di triangoli isoperimetrici possiamo usare un cordino annodato agli estremi e poi metterlo in tensione in modo che formi vari triangoli: triangoli scaleni, triangoli isosceli o un triangolo equilatero.

  

  Si capisce che i triangoli hanno tutti lo stesso perimetro perchè la lunghezza del cordino non cambia, l'area però varia. Questa intuizione può essere confermata. Supponiamo che il cordino sia lungo 18 cm e consideriamo l'insieme dei triangoli che hanno perimetro uguale a 18 cm e le misure dei lati espressi da numeri interi.

  

  Se calcoliamo l'area di ogni triangolo con la formula di Erone possiamo verificare che il triangolo di area massima è quella più regolare cioè è il triangolo equilatero.

• Tra tutti i rombi isoperimetrici è il quadrato quello che ha la massima area.
  
  Consideriamo un insieme di rombi isoperimetrici, che possiamo ottenere con il modello articolabile in figura.

  

  Le quattro asticciole sono tutte uguali: durante la deformazione il perimetro rimane costante. L'area però varia: Si va dalla situazione limite in cui il rombo è completamente schiacciato (area zero), alla situazione di area massima, quando il rombo diventa un quadrato (angoli retti).

• Tra tutti i rettangoli equivalenti è il quadrato quello che ha il perimetro minimo.
  
  Un modo semplice per intuire la risposta a questo quesito è quello di considerare dei rettangoli costituiti da un dato numero di quadratini e vedere qual è quello che ha il perimetro minimo.

  

  Come si vede dalla figura è il quadrato quello che ha il perimetro minimo. Questa intuizione geometrica può essere confermata con il metodo algebrico: se indichiamo con s² l'area costante dei rettangoli possiamo indicare le dimensioni dei rettangoli con: s⋅x e s/x.

  

  e il semiperimetro p con:

  p = s⋅x + s/x

  Mettendo in evidenza s e sviluppando si ottiene:

  

  E' evidente che il semiperimetro è minimo quando x=1 e cioè quando le dimensioni del rettangolo sono uguali e quindi quando il rettangolo è un quadrato.

Si può dimostrare che:

1. tra tutti i poligono isoperimetrici con n lati quello regolare ha l'area massima;

2. tra tutti i poligono equivalenti con n lati quello regolare ha il perimetro minimo.

Come si può osservare sostituendo il termine isoperimetrici con il termine equivalenti e il termine area massima con il termine perimetro minimo e viceversa si può passare dalla prima alla seconda affermazione e viceversa. In altre parole nei problemi di massimo e minimo vale la legge di dualità.

Con l'aumentare dei numeri dei lati i poligoni regolari assumono una forma sempre più arrotondata.

E se consideriamo i poligoni regolari inscritti in una data circonferenza al crescere di n (numero dei lati) il contorno del poligono tende sempre più a confondersi con la circonferenza e l'area del poligono tende sempre più ad avvicinarsi al valore dell'area del cerchio circoscritto.

Infatti, se consideriamo la formula:

Per n che tende all'infinito si ha:

Questo significa che l'area di un poligono regolare di n lati cresce con il crescere dei numeri dei lati e al tendere di n all'infinito tende al valore dell'area del cerchio circoscritto al poligono. Se consideriamo un cerchio come un poligono regolare di infiniti lati possiamo dire che tra tutti i poligoni regolari di dato perimetro il cerchio ha la massima area. E vale anche il duale: fra tutti i poligoni regolari di data area il cerchio ha il perimetro minimo. Non è casuale che la cinte murarie delle antiche città avessero una forma quasi circolare in modo da avere il massimo spazio per lo sviluppo urbano e il minimo perimetro da difendere da possibili aggressioni esterne.