Costruzione di un poligono con riga e compasso

Già gli antichi greci si posero il problema:

Per quali n ∈ N è possibile costruire il poligono regolare di n lati con riga e compasso?

Essendo un poligono regolare di n lati inscrittibile in una circonferenza e che i lati del poligono dividono la circonferenza in n archi congruenti fu naturale pensare che il problema della costruzione di un poligono regolare di n lati fosse equivalente al problema della ciclotomia:

Dato un numero n ∈ N è possibile eseguire una costruzione, con riga e compasso, che permette di dividere una circonferenza in n archi congruenti?

I greci scoprirono come dividere una circonferenza in 3, 4, 5, 6 archi uguali.

Scoprirono anche come dividere una circonferenza in quindici archi uguali utilizzando un triangolo equilatero e un pentagono regolare inscritti in una stessa circonferenza.

L'arco AC è 1/3 della circonferenza mentre l'arco AB è 1/5 della circonferenza e l'arco BC che è uguale alla loro differenza è:

Bisecando l'arco BC si ottiene il punto E e l'arco BE è 1/15 della circonferenza e quindi la corda BE è il lato del pentadecagono regolare.

Inoltre, i greci sapevano che utilizzando la procedura del dimezzamento dell'arco era possibile costruire poligoni regolari con un numero doppio di lati e quindi, sapevano costruire poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, ... lati. Ma non erano in grado di costruire poligoni regolari con 7, 9, 11, 13, 14, 17, ... lati. Per più di 2000 anni i numerosi tentativi fatti per scoprire altre costruzioni di poligoni regolari, con riga e compasso, non diedero risultati. Si diffuse cosè la convinzione che le scoperte dei greci fossero le uniche possibili per la costruzione dei poligoni regolari. Per questo motivo suscitò meraviglia quando nel 1796, Karl Friedrich Gauss non ancora ventenne annunciò la costruzione di un eptadecagono reolare (poligono regolare con 17 lati). Succesivamente Gauss affermò che la costruzione di un poligono regolare con un numero dispari n di lati è possibile se e soltanto se n è prodotto di numeri primi di Fermat distinti ossia:

I numeri primi di Fermat sono numeri primi della forma:

F_n = 2²ⁿ + 1

E gli unici numeri primi di Fermat sono: 3, 5, 17, 257, 65537