Poligoni regolari

Altre relazioni con funzioni trigonometriche

Consideriamo un poligono regolare e il triangolo rettangolo avente per cateti la metà del lato e l'apotema e per ipotenusa il raggio del poligono. L'angolo acuto di questo triangolo rettangolo che ha per vertice il centro del poligono ha ampiezza Π/n:

In base alle definizioni di seno, coseno e tangente di un angolo possiamo scrivere le seguente relazioni:

L'area del triangolo rettangolo è data dal prodotto dei cateti diviso due che possimo scrivere nel seguente modo:

Se moltiplichiamo per 2n l'area del triangolo rettangolo preso in considerazione otteniamo l'area del poligono regolare.

Abbiamo cosí ottenuto l'area del poligono regolare in funzione dell'apotema e della tangente dell'angolo acuto di ampiezza Π/n. Se in quest'ultima formula sostituiamo l'apotema con RcosΠ/n si ottiene:

La formula dell'area del poligono regolare in funzione del raggio R e del seno dell'angolo acuto di ampiezza 2Π/n. Inoltre, sostituendo R con:

Nella formula:

Si ottiene:

Cioè la formula dell'area del poligono regolare in funzione del lato e della tangente dell'angolo acuto di ampiezza Π/n oppure in funzione del lato e della cotangente dell'angolo acuto di ampiezza Π/n.

Infine, sostituendo l con:

Nella formula:

Si ottiene:

Cioè la formula dell'area del poligono regolare in funzione del semiperimetro e della tangente dell'angolo acuto di ampiezza Π/n.