Poligoni regolari

Le proprietà del pentagono regolare

Il pentagono regolare, ha cinque diagonali congruenti tra loro (i poligoni regolari con più di cinque lati non hanno le diagonali tutte congruenti fra loro). Tracciando le diagonali del pentagono si ottiene un pentagono stellato detto pentagramma già noto a Pitagora e adottato come proprio segno di riconoscimento dai pitagorici.

Fra i lati e le diagonali del pentagono regolare esistono molte relazioni:

• Ogni diagonale del pentagono è parallela al lato opposto e divide il pentagono in due parti: un trapezio isoscele e un triangolo isoscele con gli angoli alla base di 36°.

  

• Tracciando le due diagonali uscenti dallo stesso vertice si formano tre triangoli isosceli: il triangolo ABD con gli angoli di 72°, 72°, 36° detto triangolo aureo e i triangoli BCD e ADE con gli angoli di 108°, 36°, 36° detti gnomone aureo.

  

  Il rapporto tra una diagonale d e un lato l è costante ed è uguale al rapporto aureo φ. Il lato di un pentagono regolare è quindi sezione aurea della diagonale.

  

• Due diagonali si dividono in segmenti tali che il minore è congruente alla sezione aurea del maggiore e il segmento maggiore ha lunghezza uguale al lato del pentagono.
  
  Tracciamo le due diagonali BD e CE e indichiamo con F il loro punto di intersezione.

  

  I triangoli CDE e CDB sono isosceli e congruenti (lati corrispondenti uguali), anche i triangoli BCF e DEF sono isosceli e congruenti e quindi BF=BC=EF=DE ne segue che il quadrilatero ABFE è un rombo. I triangoli BCD e CDF sono simili (angoli corrispondenti congruenti) possiamo allora scrivere la proporzione:

  BD : CD = CD : FD

  E essendo CD = FB si ha:

  BD : FB = FB : FD

  e quindi FB è la sezione aurea della diagonale BD.