Poligoni regolari

Introduzione

Un poligono convesso è detto regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti, cioè quando è equilatero e equiangolo. Ecco ad esempio i poligoni regolari che hanno da 3 a 10 lati.

Per determinare quanto misura uno degli angoli interni di un poligono regolare di n lati basta ricordare che tracciando tutte le diagonali uscenti da un solo vertice il poligono viene diviso in n-2 triangoli e quindi la somma totale degli angoli interni è uguale a (n-2) angoli piatti e poichè gli angoli sono tutti uguali l'ampiezza di un singolo angolo si ottiene dividendo tale somma per il numero dei lati:

Nella tabella sono indicate le ampiezze degli angoli dei primi poligoni regolari:

Per determinare l'ampiezza di ogni angolo esterno di un poligono regolare di n lati basta ricordare che gli n angoli esterni sono tutti uguali e che la loro somma è uguale a 360° e quindi l'ampiezza di ogni angolo esterno è dato da:

β = 360° : n

Inoltre, in ogni vertice di un poligono regolare l'angolo interno α e il corrispondente angolo esterno β sono supplementari e quindi vale la relazione:

β = 180° - α

Vediamo ora, alcune importanti proprietà e alcune definizioni che valgono per tutti i poligoni regolari:

Ogni poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza. Il centro della circonferenza inscritta e di quella circoscritta coincidono e questo punto viene detto centro del poligono regolare. Il raggio della circonferenza inscritta viene detto apotema del poligono regolare e la sua misura, indicata generalmente con la lettera minuscola a, è uguale alla misura dell'altezza relativa alla base dei triangoli isosceli che si ottengono congiungendo il centro del poligono con i suoi vertici. Il raggio della circonferenza circoscritta prende il nome di raggio del poligono regolare e viene indicato con la lettera maiuscola R. I vertici di un poligono regolare dividono la circonferenza circoscritta in archi congruenti e, viceversa, se una circonferenza è suddivisa in archi congruenti allora il poligono che ha per vertici i punti di suddivisione è regolare. Ad esempio, in figura è raffigurato l'esagono regolare inscritto e circoscritto a una circonferenza il suo centro O, l'apotema OH, il triangolo isoscele ABO e il suo raggio OB.

Collegando i punti medi dei lati di un poligono regolare di n lati si ottiene un altro poligono regolare di n lati, le bisettrici degli angoli del primo sono assi dei lati del secondo e la circonferenza inscritta nel primo è circoscritta al secondo. Ad esempio, in figura è raffigurato il pentagono regolare e il corrispondende pentagono regolare che ha per vertici i punti medi del primo pentagono.

Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili perchè hanno tutti gli angoli congruenti tra loro e i lati in proporzione, in quanto il rapporto tra due lati omologhi qualsiasi è sempre lo stesso. Ne segue che nei poligoni regolari con lo stesso numero di lati è costante il rapporto fra l'apotema e il lato. Ad esempio tutti i pentagoni regolari sono simili fra loro e quindi sono uguali i seguenti rapporti: