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Pi greco e la probabilità
Il problema dell'ago di Buffon non è l'unico collegamento fra pi greco e la probabilità perchè esistono altre situazioni in cui spunta fuori un legame tra pi greco e la probabilità. Ad esempio, nel 1904 R. Chartres annunciò:
Se scegliamo a caso due numeri interi la probabilità che questi siano primi fra loro è:
Vediamo come ciò è possibile. Consideriamo due numeri interi a e b e un numero primo k. Ora è evidente che:
i numeri interi divisibili per 2 sono 1 su 2;
i numeri interi divisibili per 3 sono 1 su 3;
i numeri interi divisibili per 5 sono 1 su 5;
in generale i numeri interi divisibili per k sono 1/k.
Possiamo quindi stabilire: la probabilità che k divida a è 1/k, la probabilità che k divida a e b è 1/k2 e la probabilità che k non divida a e b è:
Se consideriamo tutti i k numeri primi si ottiene un prodotto con infiniti fattori:
Che possiamo scrivere nella forma equivalente:
Eulero ha dimostrato l'uguaglianza tra gli infiniti fattori e la serie geometrica:
Pertanto si ha:
