Pi greco

La natura di pi greco

Dimostrare che i numeri

sono irrazionali è facile, non è altrettanto facile dimostrare che pi greco è un numero irrazionale. Il primo a dimostrare che pi greco è un numero irrazionale fu Johann Henrich Lambert (1728-1777) nel 1761. Inoltre, nel 1882 Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostrò che pi greco è anche un numero trascendente. Un numero si dice trascendente se non è soluzione di nessuna equazione polinomiale a coefficienti razionali della forma:

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ = 0

dove n ≥ 1 e i coefficienti a_i sono razionali non tutti nulli. Invece tutti i numeri che si possono ottenere come radice di una equazione polinomiale a coefficienti razionali sono detti numeri algebrici. Ad esempio, il numero √2 è un numero algebrico perchè è soluzione dell'equazione polinomiale

x² - 2 = 0

E' stato dimostrato che nessun numero trascendente può essere costruito con riga non graduata e compasso e quindi pi greco non è costruibile. La scoperta che pi greco è un numero trascendente dimostrò rigorosamente l'impossibilità del più famoso problema della geometria greca noto con l'appellativo quadratura del cerchio che richiedeva di costruire un quadrato che avesse la stessa area di un dato cerchio, utilizzando esclusivamente una riga e un compasso. Per molti secoli i matematici hanno tentato di risolvere questo problema che si riduce a costruire esattamente Π con riga e compasso. Infatti, se il cerchio ha raggio unitario la sua area sarà A=Π e quindi il quadrato che ha la stessa area del cerchio dovrà avere per lato l=√Π.

Potendo costruire esattamente Π è facile poi ottenere con riga e compasso √Π con il triangolo rettangolo inscritto in una semicirconferenza.

Ma con le limitazioni imposte dall'uso esclusivo di riga e compasso ciò è impossibile perchè pi greco è un numero trascendente.