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Fase aritmetica
Nel 1671 il matematico scozzese James Gregory (1638-1675) diede inizio a un nuovo approccio per determinare il valore approssimato di pi greco basato sullo sviluppo in serie della funzione arcotangente. In trigonometria la funzione arcotangente (che si indica con arctan oppure arctg) rappresenta, in un intervallo (-Π/2, Π/2), la misura dell'arco di circonferenza individuato dalla tangente.
In altre parole, la funzione arcotangente è l'inversa della funzione tangente nell'intervallo (-Π/2, Π/2). Ad esempio:
Gregory scoprì che la funzione arctan x poteva essere espressa mediante la serie infinita (somma dei termini di una successione):
Tre anni dopo Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) riscoprì questa serie e notò che poteva essere utilizzata per calcolare Π/4. Infatti, ponendo x=1 che corrisponde all'arco la cui tangente è 1 l'arctan di 1 è uguale a Π/4 radianti (angolo di 45°) e quindi si può scrivere
dove le frazioni hanno per numeratore 1 e per denominatore la successione dei numeri dispari. Questa serie è convergente e la somma degli infiniti termini ha per valore Π/4 e quindi utilizzando solo un numero finito di termini di questa serie si possono ottenere valori sempre più accurati di pi greco. Questa scoperta aprì una nuova strada per il calcolo di pi greco che passò da problema geometrico (poligoni inscritti in un cerchio) a un problema aritmetico (somma algebrica di numeri). Purtroppo la convergenza della serie di Leibniz è lentissima; per ottenere le prime due cifre decimali di pi greco occorre sommare i primi 300 termini della serie e quindi risulta poco utile per il calcolo approssimato di pi greco. Era quindi necessario scoprire nuove serie che convergessero più rapidamente verso il valore approssimato di pi greco. Fortunatamente si capì che ponendo x minore di 1 la serie della funzione arctan x converge molto più rapidamente verso pi greco. Nel 1699 il matematico Abraham Sharp (1651-1742) scoprì che ponendo
che corrisponde ad un arco la cui tangente è 1/√3 la funzione arctan 1/√3 vale Π/6 (angolo di 30°) e utilizzando la serie di Leibniz potè scrivere
e con tale serie riuscì a calcolare le prime 72 cifre decimali di pi greco.
Nel 1706 l'astronomo John Machin (1680-1751) partendo dall'uguaglianza
ottenne la serie
con la quale ottenne le prime 100 cifre decimali di pi greco. Molti altri matematici ad esempio: Thomas Fantet de Lagny (1660-1734), Georg Vega (1754-1802), Eulero (1707-1783), William Shanks (1812-1882) rivolsero la loro attenzione al calcolo di pi greco mediante nuove serie di arcotangenti ottenendo un numero sempre maggiore di cifre decimali di pi greco (William Shanks ottenne ben 707 cifre decimali).
