Geometria di Moulton

Triangoli di Moulton

Nel piano di Moulton un poligono, (cioè la parte di piano limitata da n segmenti con n>2 collegati agli estremi a due a due in modo che la figura sia chiusa e segmenti consecutivi non siano allineati), se non ha punti in comune con l'asse y ha la stessa forma e le stesse proprietà del corrispondente poligono nel piano euclideo invece, ha forma e proprietà molte diverse se ha punti in comune con l'asse y. In altre parole, si dice che il piano di Moulton è localmente euclideo tranne nei punti dell'asse delle ordinate. In questo paragrafo vedremo come cambiano le forme e le proprietà dei triangoli che hanno punti in comune con l'asse y.

Nel piano di Moulton i triangoli possono assumere forme molto diverse dagli usuali triangoli euclidei. Come ad esempio il triangolo ABC di Moulton con i vertici nei punti A(-1; 0), B(2; 2) e C(1; 4,5) dove i due lati AB e AC sono segmenti rifratti:

Nel piano euclideo la somma delle misure degli angoli di un triangolo è sempre 180°, mentre la somma delle misure degli angoli di un triangolo di Moulton potrebbe essere:

• minore di 180° come ad esempio nel triangolo ABC in figura;

  

• uguale a 180° come ad esempio nel triangolo ABC in figura;

  

• maggiore di 180° come ad esempio nel triangolo ABC in figura.

  

Nel piano euclideo i triangoli hanno tre altezze che si intersecano in uno stesso punto detto ortocentro, nel piano di Moulton un triangolo può avere quattro altezze che non si intersecano in uno stesso punto come si vede in figura

Nel piano euclideo le tre bisettrici di un triangolo si intersecano in uno stesso punto detto incentro che è equidistante dai tre lati ed è anche il centro della circonferenza inscritta nel triangolo pertanto tutti i triangoli sono circoscrittibili. Nel piano di Moulton le tre bisettici di un triangolo in alcuni casi non si intersecano in uno stesso punto per cui non tutti i triangoli di Moulton sono circoscrittibili.

Nel piano euclideo gli assi dei lati di un triangolo si intersecano in uno stesso punto detto circocentro che è equidistante dai vertici ed è anche il centro della circonferenza circoscritta al triangolo pertanto tutti i triangoli sono inscrittibili. Nel piano di Moulton gli assi dei lati di un triangolo in alcuni casi non si intersecano in uno stesso punto per cui non tutti i triangoli di Moulton sono inscrittibili.

Nel piano euclideo le mediane di un triangolo si incontrano in uno stesso punto detto baricentro. Nel piano di Moulton le mediane di un triangolo in alcuni casi non si intersecano in uno stesso punto.

Nel piano euclideo per i triangoli rettangoli vale il teorema di Pitagora:

Il quadrato della misura dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure dei cateti.

Questa proprietà non vale per i triangoli rettangoli di Moulton. Ad esempio, consideriamo il triangolo rettangolo di Moulton in figura:

I lati AB e AC sono i cateti e il lato BC è l'ipotenusa e se determiniamo i quadrati delle loro misure non si ottiene la relazione pitagorica.

Infatti, se calcoliamo i quadrati delle misure delle lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa si ottiene:

4,24 + 3,35 ≠ 4,5

Nella geometria euclidea:

due triangoli sono uguali se hanno due lati e l'angolo compreso uguali.

Nella geometria di Moulton questo criterio di uguaglianza non vale come si può vedere dalla figura: